Ми10 крив и пов

Если функция f (x.y, z) непрерывна вдоль кусочно-гладкой поверхности Q , то поверхностный интеграл первого рода существует.

(Доказательство теоремы смотрите, например,[3]).

Поверхностный интеграл первого рода обладает теми же свойствами,

что и двойной интеграл. В частности, выполняется свойство аддитивности: если поверхность Q разбита на части Q1 и Q2 , то

∫∫ f (x, y, z)dq = ∫∫ f (x, y, z)dq + ∫∫ f (x, y, z)dq.

Читателю предлагаем самостоятельно сформулировать остальные свойства.

2.2.1. Вычисление поверхностного интеграла I-го рода

Пусть задана гладкая поверхность Q уравнением z = z(x, y) . Так как поверхность гладкая, то z(x, y) – непрерывная функция вместе со своими частными производными. И пусть на поверхности Q определена непрерывная функция f (x, y, z) . Требуется вычислить поверхностный интеграл ∫∫ f (x, y, z)dq (Нельзя смешивать интегрируемую функцию f (x,

Q

y, z) с функцией, входящей в уравнение поверхности Q ).

Предварительно займемся выводом формулы для вычисления площади ∆qi элементарной части qi поверхности Q . Обратимся к рис. 2.2.2 и 2.2.3, где выделен участок qi разбиения области Q на элементарные части с выбранной на нем точкой Mi (xi , yi , z(xi , yi )) . Через точку Mi qi проведем касательную плоскость к поверхности Q . Уравнение касательной плоскости, как известно (формула (2.7)) , имеет вид

zx' (x, y) |Mi (x − xi ) + z'y (x, y) |Mi ( y − yi ) −(z − zi ) = 0.

Рис.2.2.2.

71

На этой плоскости выделим элемент qi с площадью∆qi (рис. 2.2.3), который проектируется на плоскость xOy в ту же элементарную область σi , что и элемент qi (рис. 2.13). Заменим криволинейный элемент qi

плоским элементом qi , тогда

Рис.2.2.3

Обозначим через γi двугранный угол между касательной плоскостью и плоскостью xOy. Следовательно, ∆σi = ∆qi | cosγi | ( как известно из

аналитической геометрии, площадь проекции плоской фигуры равна площади самой этой фигуры, умноженной на абсолютную величину косинуса двугранного угла между плоскостями). Откуда в силу формулы (2.11) получаем

Линейный угол двугранного угла γi есть в то же время угол между осью

Oz и единичным вектором нормали n к касательной плоскости. И поэтому, см. формулу (2.8),

А теперь, для решения поставленной задачи о вычислении поверхностного интеграла, вернемся к интегральной сумме (2.9), соответствующей данному разбиению поверхности Q на части ∆qi и выбору точек

72

областей qi ,i =1,2,..., n,) то и δ → 0 , где δ – максимальный из диаметров

Сумма, стоящая в правой части равенства (2.15), является интегральной

двойной интеграл от указанной функции двух переменных по области Sxy . Следовательно,

∫∫ f (x, y, z)dq = ∫∫ f (x, y, z(x, y)) 1 +(zx' (x, y))2 +(z'y (x, y))2 dσ,

Заметим, что существование двойного интеграла доказывает, в силу (2.16) существование поверхностного интеграла при оговоренных условиях, которым удовлетворяют подынтегральная функция и область интегрирования.

где Sxz , Syz – проекции поверхности Q на координатные плоскости xOz и yOz .

Замечание. В более сложных случаях, когда поверхность кусочно-гладкая или неоднозначно проектируется на координатные плоскости, ее

73

разбивают на гладкие части, однозначно проектирующиеся на одну из координатных плоскостей, тогда интеграл разобьется на сумму интегралов по этим частям, к каждому из которых применимы формулы (2.16) – (2.18). Пример 2.3. Вычислить площадь Q части гиперболического параболоида

z = xy , вырезаемой прямым круговым цилиндром x2 + y2 = 8 (рис.2.2.4).

области функция z(x, y) = xy непрерывна и имеет непрерывные частные производные zx' = y и z'y = x . Следовательно имеем (формула (2.10*)):

Для вычисления этого двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ , в которых

2.2.2. Механические приложения поверхностного интеграла первого рода

Пусть по поверхности Q распределена масса с поверхностной плотностью ρ(x, y, z) , представляющей собой непрерывную функцию на Q . Такую поверхность называют материальной поверхностью. Разобьем поверхность на n частичных областей qi ,i =1, 2,..., n, выбрав на каждой из них произвольную точку Mi (xi , yi , zi ) qi . При этом полагаем, что при малых диаметрах di частичных областей qi поверхностная плотность

74

распределенной по поверхности массы в пределах каждой частичной области постоянна и равна значению ρ(Mi ) = ρ(xi , yi , zi ) .

При этих предположениях, как и в случае материальной кривой (см. 1.2.3.), приходим к следующим выводам:

а) масса всей поверхности Q равна

г) моменты инерции этой поверхности относительно, например, плоскости yOz , оси Ox и начала координат равны соответственно

JyOz = ∫∫x2 ρ(x, y, z)dq, JOx = ∫∫( y2 + z2 )ρ(x, y, z)dq,

Q Q

JO = ∫∫(x2 + y2 + z2 )ρ(x, y, z)dq.

Q

Аналогично выражаются моменты инерции относительно других осей. Пример 2.4. Вычислить статический момент относительно плоскости xOy и координаты центра масс однородной полусферы радиуса R .

Решение. Выберем систему координат так, чтобы полусфера стояла на плоскости xOy , а начало координат находилось в ее центре. Тогда

уравнение полусферы имеет вид x2 + y2 + z2 = R2 (z ≥ 0) .

На основании формулы (2.20), где полагаем ρ(x, y, z) =1, так как

75

Так как материальная сфера однородная, то из соображений симметрии ее центр тяжести должен находиться на оси Oz , поэтому xC = 0, yC = 0 , а

zC = MxOy . По формуле (2.19) найдем массу полусферы mQ

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам: x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ , в которых

dxdy = ρdρdϕ, Sxy → D ={(ρ,ϕ) : ρ [0, R],ϕ [0, 2π]}.

Тогда

Пусть в пространственной области Q задано векторное поле a(M ) .

векторную линию рассматриваемого поля. При этом множество всех таких линий, проходящих через точки M L , образует поверхность S G(Рис.

2.3.1), называемую векторной поверхностью векторного поля a(M ) .

Векторная линия, проходящая через любую точку M S векторной поверхности S , целиком лежит на этой поверхности. ПоэтомуGкасательная

к векторной линии в точке M S , а значит, и вектор a(M ) будут

JJJJG

перпендикулярны единичному вектору n(M ) нормали к S в этой точке

76

На гладкой двусторонней поверхности Q Ω, ограниченной гладким замкнутым контуром L, выберем одну из сторон поверхности Q с

cosα,cos β,cosγ , определяемые формулой (2.8) (Рис.2.3.3) .

JJJJJJG

Вектор F(M ) может определять направление скоростей: потока жидкости,

потока воздуха, потока частиц газа, магнитных полей и т.д. Пусть, для

JJJJJJG

определенности, вектор F(M ) определяет скорость потока жидкости, протекающей через поверхность Q . Разобьем поверхность Q

произвольным образом на n элементарных частей, площадь которых обозначим через ∆qi . На каждой из частей qi выберем произвольную

протекающей через площадку qi за единицу времени в направлении вектора нормали n(Mi )

Рис.2.3.4

78

Тогда общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через

поверхность Q в направлении вектора нормали n(M ) к поверхности Q ,

JJJJJJG

i=1

Сумма (2.20) называется интегральной суммой. При различных разбиениях поверхности Q на элементарные части qi ,i =1, 2,..., n, и различном выборе

векторного поля принять предел интегральных сумм в правой части (2.20)

который не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек Mi qi .

Интеграл, стоящий в правой части формулы (2.21), как известно, представляет собою поверхностный интеграл первого рода.

Замечание 2.3.1. Если поверхность Q является поверхностью векторной

JJJJJG

79

n

Рассмотрим предел интегральной суммы lim ∑Z(Mi )cosγi∆qi . Как

d →0 i=1

известно, угол γi между вектором n(Mi ) и осью Oz равен углу между площадкой разбиения qi и плоскостью xOy (рис. 2.2.3).

угол тупой (рис. 2.3.5). Так как предел интегральной суммы (2.21), если он существует, не зависит от способа разбиения, то мы можем разбить поверхность Q плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Тогда cosγi∆qi = ∆si = ∆xi∆yi и

80