Ми10 крив и пов

При пересечении гиперболического параболоида плоскостью z = h (h ≠ 0), получим гиперболу:

При различных значениях h получается семейство гипербол, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости х0у. Вершины гипербол для h > 0

лежат на параболе (2.8* ) , а для h < 0 – на параболе (2.8** ) . При h = 0 гиперболы вырождаются в пару прямых, лежащих в плоскости х0у:

Из всего вышеизложенного заключаем, что гиперболический параболоид – поверхность, изображенная на рис. 2.5, по виду напоминающая «седло».

6. Коническая поверхность

Каноническое уравнение: x2 + y2 = z2 . a2 b2 c2

Все координатные плоскости являются плоскостями симметрии этой поверхности. Сечение конической поверхности плоскостью z = h (при h ≠

(h = 0) пересекает коническую поверхность в единственной точке (0; 0; 0).

При увеличении |h| полуоси эллипса увеличиваются. Если a = b , то полуоси равны, конус называется круговым. При сечении конической поверхности плоскостями х = 0 и у = 0 получаем пары прямых, соответственно: z = ± bc y и z = ± ac x .

61

Эллиптический цилиндр: x2 + y2 =1 (рис. 2.7); a2 b2

гиперболический цилиндр: x2 − y2 =1 (рис. 1.8); a2 b2

Рис. 2.8

параболический цилиндр: y2 = 2 px (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Замечание. Если в уравнении поверхности отсутствует одна из декартовых координат, то есть, например, уравнение поверхности имеет вид F(у, z) = 0, то это цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными координатной оси отсутствующей координаты (в нашем случае оси 0х). Направляющая этой цилиндрической

поверхности – кривая, лежащая в плоскости изменения двух других координат, присутствующих в уравнении поверхности( то есть кривая, лежащая в плоскости у0z, имеющая уравнение F(у, z) = 0).

Поверхности вращения Определение. Поверхностью вращения называется поверхность,

образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

63

Чаще всего ось вращения принимают за одну из координатных осей. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости х0у (рис. 2.9) и имеет уравнение y = f(x), х [а; b].

Рис. 2.9

Найдем уравнение поверхности, которая получится вращением кривой L вокруг оси Ox (рис. 2.9). Очевидно, точка M с координатами (х; у; z), где х[а; b], принадлежит искомой поверхности тогда и только тогда, когда

y2 + z2 =| f (x) | . Действительно, точки с координатами (х; у; z) и (х; f(x); z)

лежат на одной окружности с центром в точке (х; 0; 0), значит расстояния от них до центра окружности равны. Таким образом, уравнение

Рис. 2.10

поверхности, полученной вращением кривой y = f(x) вокруг оси 0х, имеет вид: y2 + z2 = ( f (x))2 , x [a;b]. Заметим, что последнее уравнение

получается из уравнения линии следующим образом: обе части уравнения линии возводятся в квадрат и y2 заменяется на y2 + z2. В частности, если

кривая L задана в плоскости х0у уравнением y2 = F(x) , то уравнение поверхности, полученной вращением этой кривой вокруг оси 0х (просто заменяем y2 на y2 + z2), имеет вид: y2 + z2 = F(x) . Аналогично для других координатных плоскостей В общем виде уравнения поверхностей

64

рассмотреть вращение этой же гиперболы вокруг оси 0х, то есть в уравнении

заменить переменную у2 на у2 + z2, то получим уравнение двуполостного

Аналогично рассуждая, можно получить частные случаи некоторых поверхностей второго порядка:

Из вышеизложенного можно вывести еще один способ «узнавания» и построения поверхностей второго порядка. Пусть, для наглядности, требуется определить тип поверхности x2 + z2 – y + 1 = 0.

1. Находим в уравнении поверхности суму квадратов каких-то двух переменных, в нашем случае это переменные х2 + z2, значит можно утверждать, что данная поверхность получена вращением вокруг оси 0у.

65

2.Закрываем мысленно одну из этих переменных, например z2, тогда получаем уравнение параболы: x2 – y + 1 = 0.

3.Строим эту параболу, представляем поверхность, которая получится при вращении ее вокруг оси 0у − параболоид вращения.

Если в уравнении изменить коэффициенты при переменных х и z, например,

3x2 + 2z2 – y + 1 = 0, то это уже эллиптический параболоид.

Пример 2.2. Назвать и схематично изобразить следующие поверхности:

10) x2 + 2x + y2 − 4 y + z +9 = 0.

Решение. 1) Это каноническое уравнение эллипсоида (см. рис. 2.1) с полуосями а = 3, b = 8, с = 4.

2) Это уравнение однополостного гиперболоида (см. рис. 2.2), у которого а = 2, b = 6, с = 5.

3) Это уравнение эллиптического параболоида (см. рис. 2.4). Пересечем эллиптический параболоид плоскостью z = 1, параллельной

66

координатной плоскости х0у, в сечении получим эллипс, у которого а =

4) В уравнении отсутствует декартовая координата z, следовательно (см. рис. 2.7), это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси 0z. Направляющая этой цилиндрической поверхности – окружность, лежащая в плоскости х0у, имеющая уравнение x2 + y2 =1

Это круговой цилиндр

5) В уравнении отсутствует декартовая координата х, следовательно (см. рис. 2.7), это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси 0х. Направляющая этой цилиндрической поверхности

Это эллиптический цилиндр

6) В уравнении отсутствует декартовая координата z, следовательно

(см. рис. 2.7), это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси 0z. Направляющая – парабола, лежащая

в плоскости х0y, имеющая уравнение: y2 = 4x.

67

параллельными оси 0z. Направляющая – линия, лежащая в плоскости х0у:

х2 − у2 = 0 х2 = у2 х= ± у.

Если направляющими являются две прямые, то поверхность вырождается в пару плоскостей, проходящих через ось 0z.

10)Предварительно выделяем полные квадраты при переменных х и у:

x2 + 2x + y2 − 4 y + z +9 = 0; (x2 + 2x +1) −1 + ( y2 − 4 y + 4) − 4 + z +9 = 0;

(x +1)2 + ( y − 2)2 = −(z − 4).

Это уравнение эллиптического параболоида с вершиной в точке (−1; 2; 4). При пересечении его плоскостью z = 0, получим окружность с центром в точке (−1; 2) и радиусом 2.

2.2. Поверхностный интеграл первого рода. Теорема существования интеграла

Поверхностный интеграл первого рода представляет собой обобщение естественное обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл первого рода является по отношению к определенному интегралу.

Пусть на некоторой двусторонней гладкой (или кусочно гладкой) поверхности Q , ограниченной кусочно гладким контуром L, определена

69

i=1

Рис.2.2.1

назовем интегральной суммой для функции f (x.y, z) по поверхности Q .

Если при стремлении d к нулю, существует конечный предел

интегральных сумм (2.9), который не зависит от способа разбиения поверхности Q на части qi и от выбора точек Mi qi , то его называют

поверхностным интегралом первого рода от функции

f (M ) = f (x.y, z) по поверхности Q или интегралом по площади поверхности Q и обозначают ∫∫ f (x, y, z)dq . Итак, по определению

( dq – дифференциал площади поверхности).

Теорема 2.1. (Теорема существования поверхностного интеграла первого рода)

70