Ми10 крив и пов

Погрешность этого приближенного равенства тем меньше, чем мельче разбиение кривой AB на элементарные дуги. Поэтому естественно за

n

массу кривой AB принять значение предела m = lim ∑ρ(Mi )∆si , где

λ→0 i=1

λ = max ∆si — наибольшая из длин ∆si элементарных дуг.

i=1,...,n

Сравнивая данное определение массы кривой с определением криволинейного интеграла первого рода, получим

m = ∫ ρ(M )ds = ∫ ρ(x, y.z)ds.

Моменты инерции, статические моменты материальной кривой и координаты ее центра масс.

Моменты инерции для материальной кривой вводят так же, как и для неоднородного тела или пластины. Пусть для материальной пространственной кривой AB задана ее линейная плотность ρ(x, y, z) .

Разделим кривую AB точкамиA0 = A, A1 ,..., An = B на элементарные дуги Ai−1 Ai ,i =1,..., n, с длинами ∆si . Будем предполагать, что это разбиение

настолько мелкое, что плотность в пределах одной элементарной дуги можно приближенно считать постоянной. В этом случае каждую элементарную дугу Ai−1 Ai можно заменить материальной точкой

Mi (xi , yi , zi ) Ai−1 Ai , в которой сосредоточена вся масса ρ(xi , yi , zi )∆si этой дуги (см. рис. 1.2.1). Суммируя массы по всем элементарным дугам, для материальной кривой ABможем приближенно принять, что:

n

момент инерции относительно оси Oz JOz ≈ ∑(xi2 + yi2 )ρ(xi , yi , zi )∆si ;

i=1

n

момент инерции относительно плоскости yOz JyOz ≈ ∑xi2 ρ(xi , yi , zi )∆si ;

i=1

n

момент инерции относительно плоскости xOz JxOz ≈ ∑yi2 ρ(xi , yi , zi )∆si .

i=1

В качестве точного значения этих моментов инерции естественно

взять предел правых частей равенств при λ = max ∆si → 0 . Это приводит к

i=1,...,n

записи моментов инерции через криволинейные интегралы

JOz = ∫ (x2 + y2 )ρ(x, y, z)ds; JyOz = ∫ x2 ρ(x, y, z)ds;

21

Аналогичным образом можно получить выражения для моментов инерции кривой относительно координатных осей Ox , Oy и координатной

относительно плоскостей xOz и yOz , и их обозначают через Jy и Jx . Формулы для статических моментов материальной кривой Sx , Sy , Sz

получить, проводя те же рассуждения, в которых кривая заменяется системой конечного числа материальных точек, а затем выполняется переход к пределу. Эти формулы имеют следующий вид:

случае Sx и Sy часто называют статическими моментами относительно осей Oy и Ox .

где функции x(t), y(t) и z(t) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [α; β]. Тогда кривая AB спрямляема и для нее определен натуральный параметр s . Натуральный параметр можно отсчитывать от любого конца кривой и в данном случае отсчет удобно вести от начальной точки кривой, соответствующей значению t =α. Тогда возрастанию параметра t будет соответствовать возрастание параметра s, а для

дифференциала длины дуги кривой будет выполняться равенство

22

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода следует заменить в подынтегральной функции переменные x, y, z их

выражениями через параметр t , а дифференциал ds — дифференциалом длины дуги, выразив его через параметр t. Оговоренное выше согласование параметра t и натурального параметра s означает, что в определенном интеграле в (1.7) справа нижний предел интегрирования меньше верхнего, то есть α < β .

Пусть кривая АВ задана в полярной системе координат уравнением r = r(ϕ), ϕ [ϕ1;ϕ2 ] . Тогда, учитывая формулы x = r cosϕ и y = rsinϕ связи декартовых и полярных координат, а также выражение для

23

Пример 1.5. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫ xyzds

Решение. Предварительно находим

Решение. Ясно, что центр масс полуокружности в силу симметрии

Пример 1.7. Вычислим криволинейный интеграл первого рода от функции f (x, y) = x4/3 + y4/3 вдоль замкнутой кривой L, заданной уравнением x2/3 + y2/3 = a2/3 (астроиды) (см. раздел 1.1).

24

Решение. Для вычисления интеграла запишем кривую в параметрической форме:

равенства обращается в нуль в четырех точках, соответствующих

гладкой кривой. Переходя от криволинейного интеграла к определенному, получаем

Пример 1.9. Пусть L – правый лепесток лемнискаты Бернулли (см. раздел 1.1), который в полярных координатах описывается уравнением

25

1.2 Криволинейный интеграл второго рода 1.2.1. Скалярные и векторные поля

Функцию u = u(x, y, z) , заданную на множестве G в пространстве

будем называть скалярным полем, заданным на этом множестве. Примером скалярного поля может служить поле температуры или электрического потенциала. Будем предполагать, что функция u = u(x, y, z) имеет

непрерывные частные производные по всем переменным. Если эти производные не обращаются одновременно в нуль, то уравнение u(x, y, z) = C (C = const) определяет некоторую поверхность без особых

точек, вдоль которой величина u = u(x, y, z) сохраняет постоянное значение, такая поверхность называется поверхностью уровня. Если

определенную в каждой точке множества G будем называть векторным полем заданным на множестве G. Примером векторного поля может служить силовое поле или поле скоростей.

Векторные поля могут быть стационарными и нестационарными. В

первом случае вектор поля зависит не только от точки, но и от времени, во втором – только от точки. Можно также выделить однородные и неоднородные векторные поля. Значением однородного векторного поля во всех точках области является один и тот же вектор, неоднородное векторное поле в разных точках принимает разные значения. В

дальнейшем под векторным полем будем понимать стационарное

векторное поле.

Пусть скалярное поле u дифференцируемо в области G . Тогда ему можно поставить в соответствие векторное поле:

26

в точке M(xo, y0, z0) к поверхности уровня функции u = u(x, y, z) имеет вид:

скалярного поля ортогонален к поверхности уровня в данной точке, указывая, тем самым, направление максимального роста скалярного поля.

Скорость этого роста равна модулю (длине) вектора градиента. Функция

JJJJG u = u(x, y, z) называется потенциалом векторного поля gradu.

G

Векторное поле a(x, y, z) = (X (x, y, z),Y(x, y, z), Z(x, y, z)) называется

поля a(M ) (Рис.1.3.1).

Рис.1.3.1

Так как вектор касательной пропорционален вектору (dx, dy, dz), то для

нахождения векторных линий получаем систему дифференциальных уравнений: dxX = dyY = dzZ .

Пример 1.10. Задано скалярное поле u(x, y) = x2 y.

1)Построить линии уровня скалярного поля.

2)Найти векторное поле, для которого функция u(x, y) = x2 y является

потенциалом.

3) Построить векторные линии этого поля.

Решение.

27

x2 − y2 = C (семейство гипербол) (рис. 1.3.2) 2

G Рис. 1.3.2

Замечание. Если поле a является градиентом потенциала u(x, y, z), то его

векторные линии ортогональны поверхностям уровня этого потенциала: u(x, y, z) = C.

kk

выберем на каждой из таких дуг точку Mi (xi , yi ) (рис.1.3.3).

28

поэтому совсем не обязательно всегда считать, что функции X (x, y) и Y(x, y) - проекции сил.

Рассмотрим на плоскости xOy гладкую кривую AB. Зададим на ней

направление движения от точки A к точке B . Кривую с установленным на ней направлением движения назовем ориентированной кривой. Пусть

i=1

Эту суммуJGназывают интегральной суммой вдоль кривой AB для векторфункции F(x, y).

Замечание 1. Кривая AB называется линией или контуром интегрирования, точка A – начальной, точка B – конечной точкой интегрирования.

Замечание 2. Если кривая L = AB замкнутая, то для обозначения интеграла используют символ v∫X (x, y)dx +Y(x, y)dy . Такой интеграл

L

иногда называют контурным интегралом. В случае замкнутого контура

30