Ми10 крив и пов

Теорема 2.2. (Теорема существования поверхностного интеграла второго рода)

Если функция Z(x, y, z) непрерывна вдоль кусочно-гладкой поверхности Q ,

то поверхностный интеграл второго рода существует.

(Доказательство теоремы смотрите, например,[1]). Аналогично можно показать, что

Интеграл ∫∫X (x, y, z)dydz +Y(x, y, z)dxdz + Z(x, y, z)dxdy называют

Q

обычно составным поверхностным интегралом второго рода. Формула (2.23) устанавливает связь между поверхностными

∫∫X (x, y, z)dydz +Y(x, y, z)dxdz + Z(x, y, z)dxdy определяет поток

Q

векторного поля через поверхность Q .

Замечание 2. В ситуации, когда поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности Q , для него часто используют специальное

обозначение ∫∫wX (x, y, z)dydz +Y(x, y, z)dxdz + Z(x, y, z)dxdy.

Q

2.3.3. Свойства поверхностного интеграла второго рода

Сформулируем свойства поверхностного интеграла второго рода на примере одного его слагаемого, соответствующего функции Z(x, y, z) .

1)При изменении стороны поверхности интеграл меняет знак.

2)Свойства линейности:

∫∫(c1Z1(x, y,z) ±c2Z2(x, y,z))dxdy =c1∫∫Z1(x, y,z)dxdy±c2 ∫∫Z2 (x, y,z)dxdy, c1,c2 \.

Q Q Q

3) Свойство аддитивности: если поверхность Q разбита на конечное

81

число частей Qk Q, k =1,2,..., N, не имеющих общих внутренних

4) Интеграл ∫∫Z(x, y, z)dxdy по любой цилиндрической поверхности

Q

Q с образующими, параллельными оси Oz , равен нулю (рис. 2.18).

Первые три свойства, очевидно, следуют из определения поверхностного интеграла, как предела интегральных сумм (2.22*) G Докажем четвертое свойство. Так как единичный вектор нормалиGn(M ) к

поверхности Q параллелен плоскости xOy , т.е. угол между n(M ) и положительным направлением оси Oz прямой (рис.2.3.5), имеем cosγ = 0.

Следовательно, по формуле (2.23*) получаем

∫∫Z(x, y, z)dxdy = ∫∫Z(x, y, z)cosγdq = 0.

Q Q

2.3.4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Если гладкая поверхность Q задана уравнением z = z(x, y) ,

(x, y) Sxy xOy , и выбрана ее верхняя сторона, т.е. единичный вектор

G

n(M ) нормали определен равенством (2.8), в котором радикалы взяты со

Поэтому, используя представление (2.16), для верхней стороны поверхности получим

∫∫Z(x, y, z)dxdy = ∫∫Z(x, y, z)cosγdq =

Q Q

Для нижней стороны поверхности знак cosγ обратный, и поэтому в правой части (2.24) перед интегралом следует поставить знак минус:

82

или y = y(x, z) , (x, z) Sxz xOz .

Пример 2.5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода ∫∫ydxdz

Q

по внешней стороне части Q параболоида z = x2 + y2 , заключенной между плоскостями z = 0 и z = 2 (рис. 2.3.6, а).

Рис. 2.3.6

Решение. Разобьем поверхность Q координатной плоскостью xOz на две части Q1 и Q2 , расположенные по разные стороны от этой плоскости.

проекцию поверхности Q на плоскость xOz , которая описывается неравенствами 0 ≤ z ≤ 2, z ≥ x2 (рис. 2.3.6, б). В соответствии со

свойством аддитивности поверхностного интеграла второго рода запишем

∫∫ydxdz = ∫∫ydxdz + ∫∫ydxdz.

xOz , то определяем угол между единичным вектором нормали и осью Oy . Для поверхности Q1 с выбранной стороной имеем

∫∫ydxdz = ∫∫ z − x2 dxdz ,

Q1 Sxz

83

где левая часть равенства – это поверхностный интеграл, а правая часть – двойной. Для поверхности Q2 с выбранной стороной (левой) имеем

Таким образом ∫∫ydxdz = 2π .

через поверхность Q – внешнюю сторону части эллипсоида 4x2 + y2 + 4z2 = 4 , расположенную в первом октанте (Рис.2.3.7).

Решение. Поток векторного поля определяется поверхностным интегралом второго рода (замечание 1.)

PQ = ∫∫−x2 zdydz + ydxdz + 2dxdy.

Q

Представим данный поверхностный интеграл в виде суммы трех интегралов:

84

2.3.5. Формула Остроградского – Гаусса. Дивергенция векторного поля

Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности с тройным интегралом по телу, ограниченному данной поверхностью.

Пространственная область G является односвязной, если для любой замкнутой поверхности, лежащей в G , ограничиваемая этой поверхностью область также целиком лежит в G (то есть пространственная область G не содержит полостей).

Рассмотрим замкнутую пространственную область Ω , которая снизу и сверху ограничена поверхностямиz = g2 (x, y) и z = g1 (x, y) , где

g2 (x, y) ≤ g1 (x, y), (x, y) Sxy и боковой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz . Здесь Sxy – замкнутая область,

являющаяся проекцией пространственной области Ω на плоскость xOy

(рис. 2.3.8). Всякую замкнутую область описанного вида назовем

правильной областью в направлении оси Oz . Любая вертикальная прямая,

проходящая через внутреннюю точку такой области, пересекает ее границу только в двух точках.

Предположим, что замкнутая пространственная область Ω может быть разделена на конечное число областей, правильных в направлении оси Ox .

86

Пусть аналогичное свойство выполняется и в отношении двух других осей Oy и Oz . Такую область мы будем называть простой областью.

Рис.2.3.8

Теорема 2.3. (Формула Остроградского – Гаусса)

Если функции X (x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z) непрерывно дифференцируемы

в односвязной пространственной области G , то для любой простой замкнутой области Ω G , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой поверхностью Q , верна формула Остроградского-Гаусса

∫∫wX (x, y, z)dydz +Y(x, y, z)dxdz + Z(x, y, z)dxdy =

где Q+ – внешняя сторона поверхности Q .

Доказательство. Формула Остроградского-Гаусса распадается на три равенства, соответствующие трем подынтегральным функциям X (x, y, z) ,

Y(x, y, z) и Z(x, y, z) . Эти три равенства доказываются схожим образом, и

Рассматриваемое равенство обладает свойством аддитивности. Это означает, что если замкнутая область Ω разбита на частичные области Ωk , k =1,2,..., m, ограниченные кусочно-гладкими поверхностями Qk , и для

этих замкнутых областей доказываемое равенство установлено, то это равенство будет выполняться и для самой области Ω.Так как замкнутая область Ω является простой, ее можно разбить на частичные области Ωk , k =1,2,..., m, являющиеся правильными в направлении оси Oz. Таким

образом, равенство (2.27) достаточно доказать для случая замкнутой области, правильной в направлении оси Oz .

87