Задача 4

На горизонтальной гладкой поверхности находится доска массы М. Бруску массы m, находящемуся на поверхности доски сообщили скорость ₀, вдоль доски. Поверхность доски, по которой движется брусок шероховатая, так что движение бруска происходит с трением. Доска достаточно длинная, так что брусок всё время остаётся на поверхности доски.

1. Найти скорость тел после того как скольжение бруска по доске прекратится.

2. Найти приращение энергии системы.

Решение

1. Для ответа на этот вопрос достаточно применить закон сохранения импульса. В начальный момент времени импульс системы был равен:

P₁= m₀,

так как доска покоилась.

Рано или поздно оба тела будут двигаться вместе со скоростью v₁. Поэтому импульс системы станет равным:

P₂ = (m+M)₁

Так как импульс системы сохраняется (почему, ответьте сами), то P₁ = P₂, откуда:

m₀=(m+M)₁,

.

2. Найдем теперь изменение кинетической энергии системы. В начальный момент двигался только брусок:

,

по окончании скольжения бруска оба тела движутся с одинаковой скоростью:

.

Кинетическая энергия уменьшилась, причём это уменьшение совершенно не зависит от конкретного вида сил, действующих между бруском и доской. Убыль кинетической энергии (Т₁ – Т₂) равна:

.

Как видим, решение очень простое и короткое. А теперь попробуем ответить на такой наивный вопрос: почему в этой задаче импульс сохраняется, а кинетическая энергия – нет?

Наивный ответ состоит в том, что энергию уменьшают силы трения. Но ведь это не ответ! Действительно, силы трения, действующие между бруском и доской, тормозят брусок, но, они же, сообщают движение доске. При этом импульс системы не изменяется. Почему же тогда брусок теряет энергии больше, чем получает её доска? Ведь передача энергии от бруска к доске происходит благодаря работе тех же сил трения. Для ответа на этот вопрос вспомним, что изменение импульса тела связано с силой, приложенной к нему, соотношением:

или

.¹

Силы взаимодействия между бруском и доской равны по величине и противоположны по направлению (третий закон Ньютона) и действуют они одинаковое время. Тогда, если обозначить импульс бруска p₁, а доски p₂, то изменения этих величин за промежуток времени dt будут такими:

Здесь F – сила трения, действующая на брусок со стороны доски. На доску действует сила – F.

Как видим, насколько уменьшился импульс бруска за какое–то время, настолько же вырос импульс доски за это же самое время. Причина этого – третий закон Ньютона.

Что же касается приращения кинетической энергии, то оно определяется работой сил, приложенных к телу:

,

работа же пропорциональна перемещению тела. Поскольку брусок двигался навстречу силе трения, то работа, совершённая над ним была отрицательной. Доска же, не имея начальной скорости, двигалась в сторону действовавшей на неё силы трения. Поэтому работа силы трения над доской была положительной. Но брусок всё время двигался быстрее доски, их скорости сравнялись только в конце процесса торможения бруска. Поэтому перемещение бруска было больше перемещения доски. Поэтому и величина работы, совершённой над бруском силой трения, была больше, чем работа, совершённая над доской. Поэтому брусок потерял энергии больше, чем её получила доска.

Найдём работу сил трения над бруском и доской, полагая, что силы эти остаются неизменными в процессе скольжения бруска по доске. Тогда брусок движется с отрицательным ускорением, величина которого равна:

a₁ = F/m,

ускорение доски:

a₂ = F/M.

Скорость бруска:

_б = ₀ – a₁t,

а доски:

_д = a₂t.

По истечении некоторого времени  эти скорости сравняются и станут равными v₁:

₀ – a₁ = ₁,

a₂ = ₁.

За это же время брусок и доска совершат перемещения s₁ и s₂:

При этом силы трения, действующие на брусок и доску, совершат различную работу:

Но Fdt = dp₂, откуда за время  получаем:

F = M₁,

тем самым:

Приращение кинетической энергии системы тел равно сумме работ над телами системы:

Рис. 1

Мы пришли к тому же самому ответу, что был получен нами ранее из закона сохранения импульса. Но теперь результат полностью ясен: силой трения, приложенной к бруску, была совершена бóльшая по величине отрицательная работа, чем силой трения, приложенной к доске, которая совершила меньшую положительную работу.

Отметим вот какое ещё обстоятельство. Мы пользовались здесь понятием работы, которое строго говоря, было введено лишь для материальной точки. Здесь же речь шла о движении протяжённого тела – доски. В данном случае все точки доски двигались одинаково, поэтому её движение эквивалентно движению материальной точки, и понятие работы применимо и к доске в полной мере. Но в случае сложного движения тела, имеющего конечные размеры, разные точки тела движутся по-разному. Поэтому понятие работы и её связь с изменением кинетической энергии тела придётся уточнять. Более подробно об этом речь будет идти в разделе, посвящённом движению твёрдого тела.