Задача 1
По горизонтальной поверхности с коэффициентом трения k скользит тело. Какое расстояние S пройдет тело до остановки, если его начальная скорость v0?
Решение
Самый короткий путь решения этой задачи – использование соотношения между работой и приращением кинетической энергии.
Пусть в точке 1 тело имело скорость 0, а в точке 2 оно остановилось. Тогда:
Рис. 1
Aтр= FтрScos = – FтрS,
так как угол между силой трения и направлением движения тела равен . Так как сила трения – это сила трения скольжения, a N=mg, то работа силы трения оказывается равной:
Aтр= – kmgS.
В силу соотношения между работой и приращением кинетической энергии тела получаем:
Атр=Т2 – Т1,
Как видим, расстояние пропорционально квадрату начальной скорости тела. Интересно также, что ответ не зависит от массы тела.
И тем не менее, как в таком случае объяснить общеизвестный факт: при одной и той же начальной скорости тормозной путь груженного Камаза (масса около 30 тонн) существенно больше тормозного пути «Жигулей» (масса около одной тонны)? Проанализируйте, какие из молчаливо принятых нами предположений, в данном случае не работают. Качество резины одинаковое на всех автомобилях.
Задача 2
Тело массы m брошено со скоростью v0 под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти мгновенную мощность P(t), развиваемую при полете тела силой тяжести, действующей на тело.
Решение
Для вычисления мощности воспользуемся соотношением:
P = (F,v).
В данном случае F = mg, поэтому:
a = g, v = v0 + gt,
P = (F,v) = (mg, v0 + gt) = (mg, v0) + mg2t
Рассмотрим первое слагаемое в полученном результате: (mg, v0). Перепишем его в следующем виде:
(mg, v0) = mg0cos(+/2) = – mg0 sin,
тогда:
P = mg(gt – 0sin).
Проанализируем полученный результат. Как видно из полученного выражения для мощности P(t) она отрицательна при t < 0sin/g и положительна при t > 0sin/g.
Что означает тот факт, что при малых t мощность P(t) < 0, а при больших t наоборот P(t) < 0? Для ответа на этот вопрос учтем, что работа силы, действующей на тело, равна приращению его кинетической энергии:
dA = dT,
или:
Отсюда ясно, что если P < 0, то и dT/dt < 0, т.е. кинетическая энергия убывает и, наоборот, при Р > 0 также и dT/dt > 0 т.е. кинетическая энергия возрастает. Следовательно, при всех t<0sin/g тело движется замедляясь, а при t > 0sin/g скорость тела растет. Ясно также, что скорость тела уменьшается, пока тело поднимается, а при уменьшении высоты скорость тела растет. Все сказанное иллюстрируем Рис. 1.
Рис. 1.
Задача 3
Гусеничный трактор движется со скоростью . Найти кинетическую энергию гусеницы трактора, если ее масса равна М.
Решение.
Основная сложность задачи состоит в том, что разные части гусеницы движутся относительно земли с разными скоростями, в частности, нижняя часть гусеницы, соприкасающаяся с землей, покоится. Однако кинетическую энергию гусеницы можно найти и без рассмотрения скоростей ее различных частей. Для этого воспользуемся теоремой Кенига. Согласно этой теореме кинетическую энергию гусеницы Т можно представить в виде суммы
,
где М – масса гусеницы, Vци – скорость ее центра инерции, а Т0 – кинетическая энергия гусеницы в системе отсчета, связанной с ее центром инерции. Нетрудно видеть, что гусеница как целое не перемещается относительно трактора и поэтому скорость центра инерции гусеницы Vци совпадает со скоростью трактора , поэтому:
.
Найдем теперь Т0. Для этого рассмотрим движение гусеницы относительно ее центра инерции (т.е. с точки зрения тракториста). Т.к. гусеница нерастяжима, то все ее части движутся относительно трактора с одинаковой по величине скоростью. Эту скорость легко найти. Она, очевидно, равна скорости трактора . Действительно, относительно трактора земля движется навстречу ему со скоростью . Часть гусеницы, соприкасающаяся с землей, покоится относительно земли (нет пробуксовки), а, следовательно, относительно трактора также движется со скоростью . Но так как все части гусеницы имеют относительно трактора одинаковую скорость, то эта скорость как раз и равна . После этого нетрудно понять, что
