Задача 6

Небольшой шарик подвешен на невесомом стержне длины l. Верхний конец стержня шарнирно прикреплен к вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью . Найти угол отклонения стержня от вертикали.

Решение

Задачу удобно решать в системе отсчета, вращающейся вместе с шариком вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . В этой системе отсчета шарик покоится, а сама система является неинерциальной. Поэтому на шарик, кроме сил тяжести и реакции стержня действует также центробежная сила инерции F_цб = m²R. Здесь R – вектор, направленный к шарику от центра окружности, описываемой шариком (см. рис.1).

Рассмотрим потенциальную энергию шарика. Она складывается из потенциальной энергии шарика в поле сил тяжести (отсчитываем высоту от уровня точки подвеса нити):

Рис. 1

mgh = – mglcos

и потенциальной энергии шарика в поле центробежной силы:

Поскольку в нашем случае R = lsin , то полная потенциальная энергия шарика равна:

(1).

Так как шарик в выбранной нами системе отсчета покоится, то это означает, что положение, в котором он находится, соответствует экстремуму потенциальной энергии. Причем, этот экстремум должен быть минимумом потенциальной энергии, если положение равновесия устойчиво. Итак, задача сводится к нахождению угла , соответствующего минимуму потенциальной энергии.

Продифференцируем потенциальную энергию по углу  и приравняем производную нулю:

Переписав это уравнение в виде: .

,

получаем уравнения для :

Нетрудно понять, что из двух решений только одно может соответствовать минимуму потенциальной энергии. Для выбора этого решения необходимо найти вторую производную d²U/d²:

.

В точке минимума U эта величина должна быть положительной.

Пусть sin  = 0, тогда:

Эта величина больше нуля, если выражение в скобках положительно:

,

или:

.

Итак, шарик висит вертикально, пока угловая скорость вращения  мала.

Пусть теперь , что возможно, если .

Тогда:

В случае , как видим .

Окончательно получаем следующий ответ:

Интересно проследить за тем как при увеличении  происходит переход стержня из вертикального положения с  = 0 к наклонному, когда cos = g/²l. Для этого изобразим графики потенциальной энергии как функции угла  при различных значениях .

Зависимость U от  дается соотношением (1). Положим вначале =0. Тогда U() = – mgl cos. Эта функция имеет минимум в точке  = 0 и изображается кривой 1 на рис.2.

Кривая 1:  = 0

Кривая 2: ² < g/l

Кривая 3: ² > g/l

Рис. 2

Если теперь увеличивать угловую скорость вращения , то график U() будет изменяться. Эти изменения сводятся к тому, что график будет опускаться, поскольку с ростом  растет по модулю второе слагаемое в (1). Однако, пока ²<g/l, общий вид графика будет напоминать кривую 1 на рис. 2 в том отношении, что график будет по-прежнему монотонно возрастающим, с минимумом в точке  = 0 (см. кривую 2 на рис. 2).

Ситуация меняется как только ² делается больше g/l. В этом случае U() в точке  = 0 имеет уже не минимум, а максимум и при малых углах U() оказывается отрицательной.

Действительно, при  << l можно принять:

Тогда U() можем записать при малых  в следующем виде:

.

Как следует из полученного выражения при =0 потенциальная энергия U() имеет минимум пока ²<g/l, который сменяется на максимум при ²>g/l.

График U () при ²>g/l изображен кривой (3) на рис.2.

Итак, произведенный нами анализ показывает, что вертикальное положение стержня, т.е.  = 0 оказывается неустойчивым при 2>g/l и стержень переходит в новое положение равновесия, при котором он отклонен на угол:

.

График зависимости  от  изображен на рис. 3.

Постройте с этот график самостоятельно. В частности проверьте, что в точке, где ²=g/l касательная к графику вертикальна.

Ситуации, подобные рассмотренной, когда некоторая динамическая система переходит из одного устойчивого состояния в другое при изменении каких-либо параметров, определяющих состояние этой системы, в физике встречаются часто. Значения параметров, при которых происходит переход, называются точками бифуркации системы, В нашем случае точкой бифуркации является значение угловой скорости .