Задача 16

(Задача предложена В.И. Гервидсом). Брусок, находящийся на горизонтальной шероховатой плоскости, толкнули, сообщив ему поступательное движение с некоторой скоростью. Пусть масса бруска т, высота бруска h, коэффициент трения k. Из-за трения скорость бруска будет убывать до нуля. Тем самым, обратятся в нуль импульс, кинетическая энергия бруска и его момент импульса. Уменьшение импульса и кинетической энергии бруска вызваны, очевидно, силой трения. А чем вызвано уменьшение момента импульса бруска? Действительно, выберем в качестве полюса, относительно которого вычисляются все моменты, точку О на плоскости, являющуюся проекцией на эту плоскость центра инерции бруска в начальный момент времени (см. Рис. 1). Тогда момент силы трения относительно этой точки равен нулю, поскольку сила и радиус-вектор её точки приложения коллинеарны. Нормальная компонента силы реакции опоры уравновешена силой тяжести. Получается, как будто, что сумма моментов сил равна нулю, и момент импульса измениться не может?

Решение

Рис. 1

В предыдущей задаче показано, что при торможении автомобиль приседает на передние колёса, т.е. на передние колёса давление больше, чем на задние. В данной задаче та же самая ситуация, т.е. давление на плоскость со стороны передней части бруска больше, чем со стороны задней. Это означает, что нормальная компонента силы реакции опоры смещена вперёд. Обозначим это смещение через х. Эту величину легко найти. Действительно, брусок не вращается, поэтому сумма моментов сил, приложенных к бруску, относительно его центра инерции равна нулю:

Nx – F_трh/2 = 0 (1).

Поскольку сила трения является силой трения скольжения, и равна, поэтому kN, то х, согласно (1), равно:

Тем самым, сила тяжести и нормальная компонента силы реакции плоскости образуют пару сил с моментом равным mgx = kmgh/2.

Этот-то момент и вызывает уменьшение момента импульса L, бруска, который, в силу того, что брусок движется поступательно, равен L = mVh/2. Действительно, производная момента импульса по времени равна:

(2).

С другой стороны, эта производная равна моменту сил, приложенных к бруску:

(3).

Поскольку при движении бруска справедлив второй закон Ньютона:

то видим, что правые части (2) и (3) совпадают. Догадка наша оказалась верной.

Итак, «виновата» во всём сила трения. Однако момент импульса уменьшает не она сама, а созданный ею момент пары силы тяжести и нормальной компоненты силы реакции поверхности.

Задача 17

Реактивный истребитель, двигаясь со скоростью V=200 м/с, совершает разворот, радиусом R=1 км. Турбина самолёта имеет момент инерции I=100 кгм² и вращается со скоростью n=6000 об/мин.

1. Найти величину гироскопических сил, действующих на подшипники, в которых вращается ось турбины, если расстояние между подшипниками l=3 м.

2. Останется ли лётчик цел и невредим при таком вираже?

Решение

Рис. 1

Рассмотрим движение турбины вместе с самолётом за малый промежуток времени dt. За это время самолёт пройдёт расстояние Vdt, следовательно, его радиус-вектор повернётся на угол d = Vdt/R. На такой же угол вместе с самолётом повернётся и ось турбины, и её момент импульса. Тем самым, величина изменения момента импульса турбины (см. Рис. 1):

dL= Ld.

Вектор и величина момента сил, действующих на турбину, согласно уравнению моментов найдутся как:

Направление вектора момента сил, как видим из чертежа, перпендикулярно вектору момента импульса турбины. Поскольку, как и всякая ось симметрии, ось турбины является её главной осью инерции, то величину момента импульса найдём как произведение её момента инерции I на угловую скорость вращения турбины  = 2n.

Откуда найдём величину момента гироскопических сил:

Разделив момент на расстояние между подшипниками, найдём величину гироскопических сил N:

N=M/l=2,110³ Н.

Рис. 2

Силы реакции подшипников образуют пару сил. Они направлены перпендикулярно оси турбины и лежат в вертикальной плоскости, перпендикулярной вектору момента сил (Рис. 2).

Такое направление сил, действующих на турбину со стороны подшипников, означает, что передняя часть турбины при повороте стремится подняться вверх, а задняя – опуститься. Таким образом, на самолёт со стороны турбины действует момент силы, стремящийся поднять вверх нос самолёта.

Для ответа на второй вопрос найдём ускорение самолёта:

Величина силы реакции кресла, действующей на лётчика равна модулю суммы сил тяжести и центростремительной силы:

Как видим, сила реакции приблизительно в 4 раза больше силы тяжести. Это заметная перегрузка, но далеко не смертельная. Опасными для человека считаются перегрузки, которые более чем в 10 раз превосходят силу тяжести.