Задача 3

По гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массой m, привязанное к невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие O (рис. 1) с постоянной скоростью u. Найти угловую скорость тела в зависимости от расстояния r тела до отверстия, если в начальный момент оно находилось на расстоянии r₀, а угловая скорость нити была равна ₀. Найти силу натяжения нити N как функцию расстояния r тела до отверстия О и площадь, которую опишет тело за один оборот.

Решение

Рис. 1

Поскольку сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой реакции стола, а момент силы N натяжения нити относительно точки O равен нулю, то момент импульса тела L относительно точки О сохраняется. Запишем выражение для момента импульса тела:

L = [r,p] = m[r,v].

Разложим скорость тела v на две составляющие: v' – поперек направления нити и u – вдоль нити (рис.2):

v = v' + u.

Так как векторное произведение [r,u] = 0, то:

L = m[r, v' + u] = m[r, v'].

Поскольку v’=r, где  – угловая скорость, и векторы r и v' взаимно ортогональны, то величина момента:

L=mr'= mr².

Поскольку L = const, а в начальный момент =₀, r= r₀, то:

mr²= mr₀²₀,

Рис. 2

откуда:

.

Для нахождения величины силы натяжения нити N удобнее всего воспользоваться соотношением между скоростью изменения кинетической энергии тела Т и мощностью Р, действующих на него сил:

В нашем случае:

поэтому:

поскольку u=const.

Так как , то:

Производная dr/dt – это проекция скорости тела на направление нити (радиальное направление) и, поскольку нить укорачивается, т.е. тело приближается к отверстию со скоростью u, то dr/dt = –u.

Окончательно:

Для мощности имеем:

P=(N,v) = (N,u+v') = (N,u) + (N,v') = (N,u) = Nu.

Здесь мы учли, что N и v' взаимно ортогональны, а N и u направлены в одну и ту же сторону вдоль нити. Итак, получаем:

Найдём теперь площадь фигуры, которую опишет тело за один оборот (она затенена на Рис. 3). Для этого найдём площадь треугольника (он заштрихован на рис. 3), которую опишет нить за малый промежуток времени dt. Для этого учтём, что величина этой площади dS может быть записана как половина модуля векторного произведения векторов r и ds = vdt:

где L – величина момента импульса.

Так как L=const, то искомая площадь:

Рис. 3

где  – время одного оборота тела вокруг точки О.

Осталось найти это время. Для этого учтём, что за один оборот нить повернётся на угол 2. С другой стороны, угол поворота d за малый промежуток времени dt равен произведению dt. Угловая скорость найдена ранее:

.

Проинтегрировав это равенство по периоду, найдём:

Задача 4

Нить длины l с подвешенным к ней небольшим телом массы m отклонена от вертикали на угол . Тело толкнули в горизонтальном направлении перпендикулярно нити. При его последующем движении угол отклонения нити в тот момент, когда скорость тела вновь была направлена горизонтально, оказался равным . Найти начальную скорость тела, и скорость в точке, где нить была отклонена на угол .