Задача 14

Рис. 1

По бильярдному шару кием нанесли удар в горизонтальном направлении так, что вертикальная плоскость, в которой расположена линия удара, проходила через центр шара. На какой высоте над центром шара нанесён удар, если после удара шар покатился без проскальзывания?

Решение

Движение шара в процессе удара определяется уравнениями:

где h – высота удара над центром шара, F – сила, действовавшая на шар в процессе удара со стороны кия. Сила F велика по сравнению с силой трения между шаром и столом, поэтому силу трения можно не учитывать.

Пусть удар длился время . Проинтегрируем эти уравнения по времени от нуля до :

Здесь V – скорость центра шара после удара,  – его угловая скорость после удара. Из этих уравнений получаем соотношение между V и :

Скорость точки касания шара со столом равна:

Если шар после удара не скользит по столу, то V’ = 0, откуда находим h:

Задача 15

Как известно, автомобиль приводится в движение мотором. Но мотор – часть автомобиля, следовательно, какие бы силы или моменты сил, ни создавал мотор, это будут внутренние силы. Поэтому они не могут вызвать движения автомобиля. Для приведения автомобиля в движение нужна внешняя сила.

1. Что это за сила? Считайте, что автомобиль движется сам, его никто не буксирует и не толкает. Назовём эту внешнюю силу силой тяги. Чему равна сила тяги, если радиус колёс автомобиля R, а момент сил, развиваемый мотором автомобиля, равен М? Считайте колёса невесомыми.

2. Считая, что сила тяги приложена к ведущим колёсам, а сила трения, действующая на ведомые колёса пренебрежимо мала, найдите силы давления передних и задних колёс на землю. Считайте, что расстояние между осями колёс L, высота центра масс относительно земли h, центр масс расположен посередине между осями, масса автомобиля m, сила тяги равна F.

3. На какие колёса приседает автомобиль при разгоне? Зависит ли ответ задачи от того, какие колёса ведущие – передние или задние?

4. Рассмотрим движение игрушечного автомобильчика с пружинным мотором. Пусть пружина в заведённом состоянии обладает потенциальной энергией U. Какую кинетическую энергию приобретёт автомобильчик после того, как пружина полностью раскрутится? Как зависит изменение кинетической энергии автомобильчика от выбора системы отсчёта, в которой рассматривается движение автомобиля? Потерями на трение в механизме пренебречь.

Решение

1. 

   Рис. 1

   Ответ очевиден. В отсутствие силы трения между колёсами и дорогой автомобиль самостоятельно двигаться не сможет. Следовательно, двигаться автомобиль заставляет сила трения между ведущими колёсами и дорогой. В условиях безопасного вождения автомобиля колёса не должны скользить по дороге, так что это сила трения покоя. Обстоятельство это важное, т.к. величина этой силы может быть любой, от нуля до максимального значения, определяемого весом автомобиля и коэффициентом трения колёс о дорогу. Так как колесо невесомо, то сумма моментов, действующих на колесо, равна нулю. Иначе ускорение колеса было бы бесконечно большим. На ведущие колеса действуют момент сил М со стороны мотора (точнее, трансмиссии, но это не принципиально) и момент силы трения, или в нашей терминологии, силы тяги F. Эти моменты вращают колесо в противоположные стороны, т.е. их моменты имеют противоположные знаки:

М – FR = 0.

Откуда:

F =M/R

Как видим, сила тяги, т.е. сила трения покоя, может изменяться в зависимости от величины вращающего момента. Подумайте, что изменится, если сделать момент сил М настолько большим, что колёса начнут скользить?

Рис. 2

2. Сумма проекций на вертикальное направление сил, действующих на автомобиль, равна нулю:

N₁+ N₂ – mg = 0.

Кроме того, относительно центра масс автомобиля сумма моментов сил, приложенных к автомобилю, также равна нулю:

Fh+ (N₁– N₂)L/2 = 0.

Решая эту систему уравнений, найдём искомые силы:

3. Как видим, давление на задние колёса всегда выше, чем на передние. Т.е. автомобиль при разгоне всегда приседает на задние колёса. Исходные уравнения, а значит и ответ, не зависят от того, куда приложена сила тяги F, к передним или задним колёсам. При торможении сила тяги меняет направление (становится силой торможения), т.е. знак F изменяется на противоположный. Следовательно, N₁ уменьшается, а N₂ возрастает. Это означает, что при торможении автомобиль сильнее давит на передние колёса, т.е. его нос опускается.

4. Изменение кинетической энергии автомобильчика равно работе внешних сил (см. задачу 6):

Поскольку колёса невесомы, а автомобиль движется поступательно ( = 0), то второе слагаемое равно нулю. Но, как мы видели выше:

F =M/R,

откуда:

,

где М – момент сил, развиваемый пружиной,  – угловая скорость вращения колёс, d – угол поворота колёс за время dt. С другой стороны, записанная таким образом работа силы тяги равна работе пружины. Но эта работа равна убыли потенциальной энергии пружины:

dA = – dU.

Таким образом, получаем:

Как видим, кинетическая энергия равна первоначальной потенциальной энергии пружины.

Если рассмотреть этот же процесс с точки зрения движущегося наблюдателя (ср. с задачей 5 раздела 6), то надо учесть правило сложения скоростей, что даёт в этом случае:

V_ци = R +V_набл.

Здесь V_набл. – скорость движения наблюдателя. Поэтому:

Вновь учтём, что Md = – dU, и тогда:

Здесь:

dS_набл = V_наблdt.

Окончательно находим:

Здесь S_набл – перемещение наблюдателя за время раскручивания пружины. Как видим, к работе пружины добавляется ещё величина FS_набл.