Задача 6

При каких условиях метеорит, движущийся вдали от Земли со скоростью V₀, может упасть на поверхность Земли? Влиянием других небесных тел пренебречь.

Решение

Очевидно, падение метеорита на Землю возможно, если минимальное расстояние, на котором проходит его траектория от центра Земли не превышает радиуса Земли (см. Рис. 1).

При движении тела в центральном поле его момент импульса относительно центра этого поля остаётся неизменным:

mV₀ = mV₁R (1),

Рис. 1

здесь R – радиус Земли,  – прицельное расстояние метеорита относительно центра Земли, V₀ и V₁ – скорость метеорита вдали и, соответственно, вблизи Земли.

Помимо закона сохранения момента импульса, в данной задаче мы можем воспользоваться ещё и законом сохранения энергии, поскольку поле тяготения является консервативным полем. Потенциальную энергию тела в поле тяготения найдём из закона всемирного тяготения:

Здесь т и М – масса тела и, соответственно, масса того небесного тела, в поле тяготения которого это тело движется, G – постоянная всемирного тяготения, r – расстояние между телами, F_r – проекция силы тяготения на радиальное направление. Воспользовавшись соотношением между силой и потенциальной энергией, найдём после интегрирования по dr:

Здесь мы положили постоянную интегрирования равной нулю, что соответствует выбору потенциальной энергии равной нулю на бесконечном удалении от небесного тела (сравните с задачей 1 раздела 5 Движение точки в консервативных полях). Записывая выражение для энергии метеорита вдали от Земли и в точке касания её поверхности, получим:

Потенциальную энергию, при выбранной выше её нормировке, можно записать как – mgR, поскольку сила тяготения, действующая на тело, находящееся на поверхности Земли равна mg:

Тем самым уравнение закона сохранения энергии запишем в виде:

откуда найдём V₁:

Воспользовавшись законом сохранения момента импульса (1), получим с учётом найденной нами скорости V₁:

.

Заметим, что 2mgR = V₂² , где V₂ – вторая космическая скорость. Тем самым:

.

Вторая космическая скорость для Земли V₂ составляет 11,2 км/с, а скорость метеоритов V₀ обычно заметно больше, её величина около 30 км/с. Тем самым, для того чтобы метеорит мог упасть на поверхность Земли, его прицельное расстояние должно быть не больше радиуса Земли. А вот для Юпитера, вторая космическая скорость которого более чем в 5 раз превосходит вторую космическую скорость для Земли, прицельное расстояние оказывается приблизительно в 2,5 раза больше радиуса Юпитера, т.е. приблизительно в 25–30 раз больше радиуса Земли.

7. Динамика твердого тела

1. В механике абсолютно твёрдым телом – в дальнейшем просто твердым телом – называют систему материальных точек, расстояния между которыми всё время остаются неизменными.

2. 

   Рис. 1

   Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом остаётся параллельной себе самой. Прямая жестко связанная с телом это такая прямая, расстояние от любой точки которой до любой точки тела неизменно в процессе движения.

3. Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называют такое его движение, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Положение тела тогда задаётся углом его поворота вокруг этой оси.

4. Вектором угловой скорости твёрдого тела называется вектор , направленный вдоль оси вращения твёрдого тела в ту же сторону, в какую перемещается буравчик, вращающийся вместе с телом (рис.1). Проекция вектора угловой скорости на направление оси вращения (ось OZ на Рис. 1) равна производной по времени от угла поворота твёрдого тела:

_z = d/dt.

Угол поворота считается положительным, если для наблюдателя, расположенного так, что ось вращения направлена к нему, поворот происходит против часовой стрелки. Соответственно, и проекция _z положительна, если для такого наблюдателя вращение тела происходит против часовой стрелки.

5. Вектор v_i скорости произвольной точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен векторному произведению векторов угловой скорости и радиус-вектора этой точки:

v_i = [,r_i].

Начало координат при этом выбрано на оси вращения твёрдого тела (см. Рис. 1).

Может быть ввести (перед пунктом 6) общий случай: вращение вокруг точки, то есть вращение вокруг вращающейся оси? В последней фразе пункта 6 присутствуют слова: "… вращения тела относительно центра масс." Или там поменять на "вращение тела вокруг неподвижной в (с.ц.и.) оси, проходящей через центр масс".

6. Произвольное движение твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как совокупность поступательного и вращательного движений (теорема Эйлера). Точку внутри твёрдого тела, через которую проходит ось вращения можно выбирать произвольно, при этом величина и направление вектора угловой скорости не зависят от выбора этой точки, скорость же поступательного движения тела совпадает со скоростью этой выбранной точки. Физически наиболее обусловлено и практически чаще всего наиболее удобно выбирать ось вращения так, чтобы она проходила через центр масс тела. Тогда движение твердого тела складывается из поступательного движения со скоростью центра масс этого тела и вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс.

7. Кинетическая энергия Т твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна:

где  – величина угловой скорости вращения, а I – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, определяемый равенством:

Здесь m_i – массы "точек" твёрдого тела, a R_i – их расстояния от оси вращения ОО'. Момент инерции в задачах, связанных с вращением твёрдого тела играет роль подобную той, что играет масса тела при его поступательном движении. Под "точкой" твердого тела имеется ввиду физически бесконечно малый элемент объема тела с массой m_i. Суммирование производится по всем таким объёмам, на которые разбито тело.

8. 

   Рис. 2

   Если известен I_С – момент инерции твёрдого тела относительно некоторой оси OO, проходящей через его центр инерции, то I – момент инерции твердого тела относительно произвольной, но параллельной ей оси O'O' находится с помощью теоремы Штейнера:

I=I_С + md ²

где m – масса твёрдого тела, d – расстояние между осями.

9. В силу теоремы Эйлера для описания движения твёрдого тела необходимо знать скорость движения его центра инерции и угловую скорость вращения. Поэтому система уравнений, определяющих движение твёрдого тела, состоит из уравнения движения центра масс и уравнения моментов:

где М – масса твёрдого тела, а_ци – ускорение его центра масс, F_внеш – сумма внешних сил, приложенных к твёрдому телу, L – момент импульса твёрдого тела, М_внеш – сумма моментов внешних сил, приложенных к нему. Заметим, что L и М_внеш могут вычисляться как относительно центра масс, так и относительно любой другой точки (разумеется, при этом точка, относительно которой вычисляются L и М_внеш должна быть одной и той же как для L, так и для М_внеш).

10. 

    Рис. 3

    Поскольку разложение движения твердого тела на поступательное и вращательное можно производить различными способами, то в некоторых задачах бывает удобно выбирать ось вращения таким образом, чтобы движение твердого тела представлялось как чистое вращение. Положение этой оси будет, вообще говоря, изменяться с течением времени, поэтому ее называют мгновенной осью вращения.

11. Вектор момента импульса твердого тела определяется как сумма моментов "точек" этого тела:

L=  L_i.

12. Направление вектора момента импульса твердого тела, при вращении вокруг произвольной оси, не совпадает, вообще говоря, с направлением этой оси (Рис. 3). Однако в каждом твердом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, при вращении вокруг которых векторы L и  совпадают по направлению. Такие оси носят название главных осей инерции. Если тело имеет ось симметрии, то она будет одной из главных осей инерции.