6. Момент импульса системы материальных точек. Уравнение моментов

Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор с, модуль которого с связан с модулями сомножителей а и b и углом между ними  соотношением:

c=abcos.

Рис. 1

Направление вектора с определяется следующим образом. Во–первых, с направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены а и b. Из двух возможных направлений выбирается то, куда перемещается буравчик (правый винт), вращающийся от направления первого сомножителя ко второму по кратчайшему направлению (см.рис.1). Обозначается векторное произведение а и b как [а,b] или ab.

Из определения векторного произведения видно, что оно обладает следующими очевидными свойствами:

[а,b] = – [b,а]

[a,a] = 0.

Можно также доказать, что:

[а,b] = [а,b] = [а,b],

где  – скаляр,

а также:

[а+b,c] =[а,c]+ [b,c].

Иногда полезно иметь в виду, что величина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, двумя смежными сторонами которого являются эти векторы. Или иначе: величина векторного произведения двух векторов равна удвоенной площади треугольника, двумя сторонами которого являются эти векторы.

1. Моментом импульса материальной точки относительно некоторой избранной точки (полюса –в терминологии теоретической механики) называется вектор:

L=[r,p].

Здесь r – радиус-вектор материальной точки, начало которого совпадает с полюсом, а конец с материальной точкой, р – импульс материальной точки.

Величину момента импульса часто удобно вычислять как произведение

L= mv,

Рис. 2

где  – прицельное расстояние (или плечо импульса), равное расстоянию между полюсом и прямой, вдоль которой направлен вектор скорости частицы (см. рис. 2).

2. Моментом силы относительно полюса называется вектор:

M=[r,F].

где F – сила, r – радиус-вектор, направленный от полюса к точке приложения силы.

Точно так же, как и для момента импульса, величина момента силы может быть записана как произведение:

Рис. 3

M =hF,

где h – плечо силы, т.е. расстояние между полюсом и линией действия силы (рис. 3).

3. Связь между L и M дается уравнением моментов:

где M – момент сил, приложенных к данной материальной точке. Существенно, что L и М вычисляются относительно одного и того же полюса.

4. Момент импульса аддитивен. Момент импульса системы материальных точек равен сумме моментов отдельных точек, составляющих систему. Все моменты должны определяться относительно одного полюса.

5. Производная по времени от момента импульса системы точек определяется уравнением моментов:

где М_внеш – сумма моментов внешних сил, действующих на точки системы. Из этого уравнения следует, что момент импульса замкнутой системы тел сохраняется. Данное утверждение носит название закона сохранения момента импульса.

6. Моментом импульса или моментом силы относительно оси называется проекция соответствующего момента на эту ось. При этом полюс обязательно должен лежать на оси.

7. Для момента импульса системы точек справедливо равенство:

L = [R_ци,P] + L₀,

где L₀ – момент импульса системы точек относительно ее центра масс, R_ци – радиус–вектор центра масс системы, Р – импульс системы. Это соотношение называют теоремой Кёнига для момента импульса.

8. Момент системы сил, определяется как сумма моментов сил, приложенных к точкам системы. Как и момент каждой сил, составляющих систему сил, он зависит от выбора полюса, относительно которого вычисляются эти моменты:

M = [R,F] + M',

где M – момент системы сил относительно старого полюса О, M' – момент импульса системы точек относительно нового полюса О’, R – радиус-вектор направленный от старого полюса к новому, F – сумма сил, приложенных к точкам системы (Рис. 4). Как видим, в случае F = 0, момент системы сил не зависит от выбора полюса. Таким свойством обладает в частности пара сил, т.е. система двух равных по величине и противоположных по направлению сил.

Рис. 4

Момент пары, как нетрудно убедиться, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, составляющие пару, в направлении, совпадающем с направлением перемещения буравчика (винта), вращаемого этой парой. Величина момента пары равна произведению величины сил, составляющих пару на расстояние между линиями действия этих сил. Это расстояние называется плечом пары сил или просто: плечом пары.

9. Если тело движется в центральном поле, то момент силы, действующей на тело в этом поле, относительно центра поля равен нулю. Поэтому момент импульса тела относительно центра поля постоянен.