Задача 1.

Из автомата, выпускающего n пуль в секунду, производится стрельба по стальной плите. При ударе о плиту пуля полностью теряет свою скорость. Найти среднюю силу, действующую на плиту, если масса каждой пули m, а скорость v, причем пули летят перпендикулярно поверхности плиты.

Решение.

Согласно второму закону Ньютона:

dp/dt = F.

Таким образом, средняя сила, действующая на плиту, равна импульсу, переданному за одну секунду плите, ударившимися о неё пулями. Т.к. число таких пуль равно n и импульс каждой из них р = mv, то сила равна:

F = nmv.

Для автомата примем следующие числовые значения: m = 7 г, v = 500 м/с, п = 10 с^–1. Тогда:

F = 710^–350010 = 35 Н.

Подумайте сами, как изменится ответ, если пули упруго рикошетируют от плиты, т.е. после удара их скорость имеет прежнюю величину, но направление движения изменяется на обратное.

Кстати, вот ещё какой вопрос: а как обстоит дело со знанием физики у творцов современных боевиков, в которых мы частенько видим, как пули, попадающие в злодея, буквально сносят его?

Задача 2.

Найти положение центра масс следующих систем:

1. Двух материальных точек, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

2. Трех одинаковых материальных точек, находящихся в вершинах треугольника ABC.

3. Однородного тонкого стержня.

4. Прямоугольной пластинки.

5. Фигуры, составленной из двух прямоугольников (слесарный угольник). В данном случае найти центр тяжести без вычислений, геометрическими построениями.

Решение.

1. Совместим начало координат с одной из точек, скажем, точкой 1. Тогда согласно определению:

.

Рис. 1

Таким образом, центр масс двух частиц находится на отрезке, соединяющем эти точки. При этом расстояние от центра масс до соответствующей точки обратно пропорционально её массе:

.

В частности, центр масс двух одинаковых точек находится в середине отрезка, соединяющего эти точки.

2. Поместим начало координат в точку А, совместив его тем самым с одной из материальных точек. Пусть радиус–векторы двух других материальных точек будут r₁ и r₂, тогда радиус–вектор центра масс запишется следующим образом:

.

Полученный результат означает, что центр масс (т. О на рис. 1) лежит на диагонали параллелограмма, построенного на векторах r₁ и r₂, на расстоянии 1/3 длины диагонали от вершины А. Но так как диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения D пополам, то AD является медианой треугольника ABC. При этом АО : ОD = 2 : 1. Итак, центр масс лежит на медиане треугольника ABC. Если мы выберем начало координат в точке В, то получим, что центр масс лежит на другой медиане, делящей пополам сторону АС. Аналогично, поместив начало координат в точку С получим, что центр масс лежит на третьей медиане.

Рис. 1

Таким образом, центр масс системы, состоящей из 3 одинаковых точек, лежит одновременно на трех медианах, т.е. находится в точке их пересечения.¹

3. 

   Рис. 2

   Воспользуемся для решения этой задачи результатом задачи 1, для чего разобьем стержень на множество достаточно малых частей так, чтобы это разбиение было симметричным относительно середины стержня. «Достаточная малость» здесь понимается в том смысле, чтобы длина частей, на которые разбит стержень, была мала по сравнению с соответствующими расстояниями до середины стержня. Симметричность разбиения означает, что каждой частице с массой, скажем, m, находящейся на некотором расстоянии х правее центра стержня, соответствует такая же частица, находящаяся на таком же расстоянии х левее центра стержня. Т.к. центр масс каждой такой пары частиц лежит в середине стержня, а весь стержень разбит лишь на такие пары, то центр масс стержня лежит в его середине.

4. Поместим начало координат в точку O пересечения диагоналей пластинки. Всякая прямая, проведённая через точку О, пересекает противоположные стороны пластинки в некоторых точках А и В. Точка О делит отрезок АВ на две равные части. Поэтому, для всякой точки С на АО можно указать симметричную ей точку С' на ОВ. Центр масс частиц, расположенных в этих точках, находится в точке О. Тем самым, центр масс всей пластинки находится также в точке О.

Заметим, что в точности такие же рассуждения можно привести для любого однородного тела, обладающего центром симметрии. Как видим, центр симметрии всегда является центром инерции однородного тела.

5. Предварительно заметим, что в случае, когда мы можем разбить систему точек на две части, для каждой из которых нам известна её масса и положение центра инерции, нахождение центра инерции всей системы сводится к задаче о местонахождении центра инерции двух материальных точек:

Здесь R₁ и R₂ – радиус-векторы центра масс первой и, соответственно, второй части системы, а М₁ и М₂ – массы этих частей:

Рис. 3

Разобьём данную нам фигуру на два прямоугольника AA’B’B и ACDD’. Центр масс каждого из прямоугольников лежит на пересечении их диагоналей в точках O и O’. Следовательно, центр масс всей фигуры лежит на отрезке OO’.

Разобьём теперь данную нам фигуру на два других прямоугольника СС’B’B и C’DD’A’. Центр масс каждого из этих прямоугольников лежит на пересечении их диагоналей в точках O₁ и O₁’. Следовательно, центр масс всей фигуры лежит на отрезке O₁O₁’. Поскольку центр масс определяется однозначным образом, следовательно, он принадлежит обоим отрезкам и расположен в точке их пересечения (см. Рис. 3).