Задача 3

Среди подвигов знаменитого барона Мюнхгаузена есть полёт на пушечном ядре с целью разведки вражеских укреплений. Считая, что масса ядра 15 кг, а вес барона со всей военной амуницией 60 кг (судя по книжным иллюстрациям Гюстава Доре, барон был довольно тщедушен), определить, какую часть пути до вражеских позиций барону пришлось идти пешком?

Решение

Пусть скорость ядра после выстрела была ₀. Тогда импульс ядра был m₀. Пос­ле того, как барон вскочил на ядро, импульс системы «ядро + барон» остался прежним, но её масса стала иной, поэтому изменилась и скорость:

m₀ = (m+M)₁,

Как видим, скорость ядра уменьшилась в пять раз. Дальность полёта тела пропорциональна квадрату его начальной скорости (см. задачу 3 раздела Кинематика материальной точки). Поэтому ядро вместе с бароном пролетело лишь 1/25 часть пути до противника. Остальную часть пути барон, очевидно, вынужден был идти пешком.

Задача 4

Две частицы с массами m₁ и m₂ соединены невесомой пружиной. В момент времени t = 0 частицам сообщили скорости v₁ и v₂ соответственно, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить импульс этой системы как функцию времени P(t), также определить зависимость радиус-вектора центра инерции системы от времени R_ци(t), если при t = 0 частицы имели радиус-векторы r₁ и r₂.

Решение.

Эта задача вовсе не так трудна, как это может показаться на первый взгляд. Ведь в задаче требуется найти лишь движение центра инерции системы, а вовсе не отдельных тел, составляющих систему. Согласно теореме о движении центра инерции имеем:

т.к. никаких внешних сил, кроме сил тяжести, на систему не действует (сила упругости пружинки – сила внутренняя и в число сил, определяющих ускорение центра инерции, не входит). Таким образом:

,

откуда находим ускорение центра инерции:

a_ц= g,

и для скорости центра инерции получаем:

V_ци (t)= V_ц (0) + gt (1),

где V_ци (0) – начальная скорость центра инерции, равная по определению:

Поскольку

,

то получаем:

Для радиус-вектора R_ци(t) после интегрирования (1) по времени имеем:

,

где

Как видим, центр инерции движется как материальная точка под действием силы тяжести при заданном начальном положении R_ц(0) и начальной скорости V_ц(0).

Задача 5

На дне запаянной пробирки, подвешенной на нити над столом, сидит муха, масса которой равна массе пробирки. Расстояние L от дна пробирки до поверхности стола равно длине пробирки. Нить пережигают, и за время падения пробирки муха перелетает со дна пробирки в самый верхний конец ее. Определить время, по истечении которого нижний конец пробирки стукнется о стол.

Решение.

Эта задача похожа на задачу 3 в том отношении, что для ее решения достаточно рассмотреть лишь движение центра масс системы. В самом деле, т.к. здесь центр масс движется с ускорением свободного падения, то время падения найдем из равенства:

(1),

где h – высота, на которую опустится центр масс системы "пробирка+муха". Эта высота легко находится. Действительно, в начальный момент времени центр масс находился на высоте:

где L_пр – высота, на которой находился центр масс пробирки. В момент удара о стол новая высота, на которой находится центр масс системы, равна:

где L'_пр – высота, на которой находится центр масс пробирки в момент падения пробирки на стол. Что касается мухи, то она осталась на прежней высоте L, согласно условию задачи.

Искомая высота h = h₁ – h₂. Используя выражения для h₁ и h₂, находим h:

h = h₁ – h₂ = (L_пр – L'_пр) /2 = L/2 (2),

т.к. центр масс пробирки опустился вместе с пробиркой на высоту L.

Рис. 1

Из (1) и (2) находим:

Заметим, что если бы муха, сидела на одном месте, то время падения было бы больше. Причину этого понять нетрудно. Действительно, движение мухи обусловлено действующими на нее силами тяжести и подъемной силой воздуха, возникающей при движении крыльев мухи. Эти силы направлены в противоположные стороны, сила тяжести – вниз, подъемная сила – вверх. Но, согласно третьему закону Ньютона, на воздух, заключенный в пробирке, со стороны мухи будет действовать сила, равная по величине подъемной силе и противоположная ей по направлению, т.е. направленная вниз. Эта сила сообщит воздуху в пробирке импульс, направленный вниз, который, в конце концов, передается пробирке, что приводит к увеличению ее скорости и уменьшению времени падения.