Задача 11

На гладкой горизонтальной плоскости находится стержень длины l и массы m. Первоначально он стоял вертикально, а затем начал падать. Считая, что стержень начал падать из состояния покоя, определить траекторию, по которой будет двигаться центр масс стержня, а также скорость его центра масс в момент удара стержня о плоскость.

Решение

На стержень действуют две силы: сила тяжести mg и сила реакции плоскости N. Уравнение движения центра масс стержня имеет вид:

та_ци = mg + N.

Рис. 1

Так как силы mg и N направлены вертикально, то и вектор а_ци также направлен вертикально вниз. Поскольку начальная скорость стержня равна нулю, то скорость центра масс также имеет вертикальное направление. Отсюда следует, что центр масс стержня движется вертикально вниз. Для нахождения скорости центра масс в момент удара воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент стержень покоился, поэтому его энергия была равна потенциальной энергии:

Е₁ = mgh_ци,

где h_ци= l/2 – высота, на которой первоначально находился центр масс стержня. В момент удара о плоскость потенциальная энергия равна нулю и энергия стержня равна его кинетической энергии:

E₂ = I²/2.

Здесь I – момент инерции стержня относительно мгновенной оси вращения.

В случае падающего стержня мы знаем направления движения центра масс и конца стержня, скользящего по плоскости. Центр масс, как мы установили, движется вертикально вниз, а конец стержня (точка А на рис.1) – вдоль плоскости, т.е. его скорость V_A направлена горизонтально. Положение мгновенной оси вращения изображено на рис.1 (она проходит через точку О перпендикулярно плоскости чертежа). Нетрудно понять, что в момент удара стержня о плоскость, мгновенная ось вращения будет проходить через нижний конец стержня (точку А на рис.1). Поэтому момент инерции стержня в этот момент времени согласно теореме Штейнера равен:

Таким образом, согласно закону сохранения энергии получаем:

Откуда:

Скорость центра масс в этот момент равна l/2, т.е.

Задача 12

Стержень массы m и длины l лежит своими концами на двух опорах. В некоторый момент одну из опор выбивают. Найти в этот момент силу реакции второй опоры.

Решение

Сразу после удаления опоры на стержень действуют две силы: тяжести – mg и реакции второй опоры – N. Под действием этих сил стержень начинает вращаться вокруг точки касания с оставшейся опорой. Выпишем систему уравнений динамики, описывающих движение стержня:

Первое из уравнений представляет собой уравнение второго закона Ньютона для центра инерции стержня в проекции на вертикальное направление (направление силы тяжести). Второе – уравнение моментов относительно оси вращения стержня, которая проходит перпендикулярно плоскости чертежа через точку соприкосновения стержня с опорой. Сила реакции N направлена вертикально, поскольку в начальный момент стержень ещё не изменил своего горизонтального положения.

Рис. 1

Во втором уравнении ml²/3 – момент инерции стержня относительно оси вращения, mg(l/2)- момент силы тяжести относительно оси вращения, V – скорость центра инерции стержня. Кроме того следует учесть, что:

,

так как движением стержня является вращение вокруг точки касания с опорой. Дифференцируя это равенство по времени, получим:

.

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

Откуда находим N:

Ответ довольно неожиданный. На первый взгляд, кажется, что N должна быть не меньше, чем mg/2, так как до удаления опоры на каждую из них приходилось по mg/2, а после удаления стержень давит лишь на одну опору. Попытайтесь самостоятельно объяснить этот "парадокс".