Задача 4

Докажите, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связана с проекциями вектора угловой скорости  на главные оси твёрдого тела и моментами инерции относительно главных осей следующим образом:

Решение

Согласно результату предыдущей задачи, кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела связана с его моментом импульса:

Если выбрать какие-либо оси координат, связанные с этим телом, то тогда:

Вообще говоря, каждая проекция момента импульса зависит от всех трёх проекций угловой скорости на оси координат. Однако если в качестве системы координат выбрать систему, оси которой являются главными осями тела, то, согласно свойствам этих осей:

Тем самым:

Задача 5

Как зависит скорость изменения кинетической энергии твёрдого тела, т.е. производная dT/dt, от сил, приложенных к этому телу?

Решение

Согласно теореме Кёнига и результату предыдущей задачи, кинетическая энергия твёрдого тела может быть записана в виде:

Здесь I_x, I_y, I_z – моменты инерции твёрдого тела относительно главных осей, а _x, _y, _z – проекции вектора угловой скорости на эти оси.

Продифференцировав это равенство по времени, получим:

Здесь мы учли, что

Здесь F_внеш и М_внеш векторная сумма внешних сил и, соответственно, векторная сумма моментов внешних сил, приложенных к телу.

Как видим, изменение кинетической энергии твёрдого тела определяется как внешними силами, так и моментами этих сил. Причём, что интересно, ответ не зависит от того, в каких именно точках тела приложены действующие на тело силы. Всё определяется векторной суммой внешних сил и скоростью движения центра инерции тела, и, соответственно, векторной суммой моментов внешних сил, приложенных к телу и угловой скоростью вращения тела:

Поскольку производная dT/dt равна мощности сил, действующих на тело, то полученный результат представляет мощность внешних сил, приложенных к твёрдому телу:

Задача 6

Рис. 1

Рассмотрим плоское твёрдое тело (такое тело представляет собой тонкую пластинку). Выберем систему координат, две оси которой, скажем OX и OY, лежат в плоскости тела, а третья ось OZ перпендикулярна его плоскости. Пусть моменты инерции этого тела относительно осей OX и OY равны, соответственно, I_x и I_y. Докажите, что:

I_z =I_x + I_y.

Решение

Запишем выражения для моментов инерции:

I_x = m_iy_i², I_y = m_ix_i², I_z = m_iR_i².

Поскольку , то:

Задача 7

Пользуясь результатами предыдущей задачи найти:

1. момент инерции диска относительно его диаметра;

2. момент инерции квадратной пластинки относительно её диагонали.

Решение

1. Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска, равен, как известно:

,

где m и R его масса и, соответственно, радиус.

С другой стороны, согласно результату предыдущей задачи, этот момент вдвое больше момента I_диам относительно диаметра этого диска, откуда получаем:

2. Для квадрата запишем:

Рис. 2

Поскольку диагонали квадрата также перпендикулярны друг другу, то:

Тем самым, момент инерции квадрата относительно его диагонали совпадает с моментом инерции относительно оси, проходящей через середины его противоположных сторон: