1.5 Интенсивность простейшего потока вызовов.

Определим интенсивность простейшего потока:

.

Таким образом, интенсивность простейшего потока равна его параметру, что является следствием ранее сформулированной теоремы Королюка – Зитека.

Напомним ее смысл.

Для стационарных потоков справедливо неравенство . Для стационарных ординарных потоков =, т.к. число вызовов совпадает с числом вызывающих моментов.

1.6 Функция распределения промежутков между вызовами простейшего потока.

Согласно определению функция F(x) есть вероятность того, что промежуток между вызовами (z) окажется меньше константы (х), что равносильно вероятности ₁(х) того, что на интервале (х) поступит один и более вызовов.

.

Проиллюстрируем полученную зависимость графически.

Рис. 1.13 – Зависимость F(x)=f(x).

Таким образом, закон распределения СВ (z) или плотность распределения вероятностей промежутков между вызовами имеет вид:

.

Математическое ожидание и дисперсия промежутков между вызовами:

;

;

.

Из приведенных выражений видно, что с увеличением параметра потока () величина промежутков между вызовами уменьшается и наоборот.

Заметим, что распределение промежутков между вызовами по показательному закону является не только необходимым, но и достаточным условием простейшего потока. Можно показать, что поток с независимыми промежутками между вызовами, распределенными по одинаковому закону, является простейшим потоком.

Показательный закон обладает следующим замечательным свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, длится некоторое время, то это никак не влияет на распределение оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения самого промежутка.

Показательный закон – единственный, обладающий таким свойством. Физический смысл этого свойства – отсутствие последействия. С другой стороны равенство M[z] и [z] позволяет существенно упростить аналитические выражения, в частности, при анализе процессов поступления вызовов и их обслуживании.

1.7 Закон распределения длительности обслуживания вызовов.

В ТТ длительность обслуживания вызовов обычно принимается постоянной либо случайной величиной. Постоянная длительность принимается обычно в моделях обслуживания вызовов УУ. Случайная длительность обслуживания задается функцией распределения:

,

где: t – длительность обслуживания вызовов.

Чаще всего используют отрицательное экспоненциальное распределение:

,

где: - параметр длительности обслуживания.

Дифференцируя по (х), найдем плотность распределения вероятностей:

.

Числовые характеристики распределения:

; ;.

1.8 Классификация потоков вызовов.

В ТТ рассматриваются две ветви классификации входящих потоков:

• Потоки с простым последействием;

• Потоки с ограниченным последействием;

Параметр потока с простым последействием зависит от состояния КС. Различают макросостояния КС и микросостояния КС

Под макросостояниями КС понимается наиболее общая характеристика состояния системы в момент времени (t). Например, общее число занятых входов, выходов ПЛ и т.д. Число таких состояний для однозвенных, ПД КС равно (v+1).

Под микросостояниями КС понимается детальная информация о состоянии системы в момент времени (t), т.е. не только общее число занятых входов, выходов, ПЛ, но и информация о том, какие именно входы, выходы, ПЛ заняты.

Число таких состояний для однозвенного, НД пучка емкостью v линий равно 2^v.

Под потоком с простым последействием понимается ординарный поток, для которого в любой момент времени (t) существует конечный параметр потока в состоянии (s), зависящий только от состояния (s) КС в момент времени (t) и не зависящий от процесса обслуживания вызовов до этого момента. Это ординарный, нестационарный поток. Обозначим его параметр - ^s.

Частным случаем потока с простым последействием является симметричный поток.

Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого в любой момент определяется числом обслуживающихся вызовов в этот момент времени и не зависит от других характеристик КС.

^s=_i ,

где: i – число занятых линий.

Частным случаем симметричного потока является примитивный поток вызовов.

Примитивным потоком называется такой симметричный поток, параметр которого - _i прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников:

_i=(n-i) ,

где: i – число занятых источников;

 - параметр потока одного свободного источника.

Частным случаем примитивного потока является простейший поток вызовов. Параметр  простейшего потока вообще не зависит от состояния КС и для данного потока является величиной постоянной.

Математической моделью простейшего потока является формула Пуассона:

,

а примитивного потока – формула Бернулли (t=1):

,

где: n – общее число источников нагрузки,

а – удельная нагрузка от одного источника.

Частным случаем потока с простым последействием является также поток с повторными вызовами.

В этом потоке следует различать первичные и вторичные вызовы. В качестве первичного потока могут выступать либо простейший, либо примитивный потоки. В случае простейшего потока суммарный параметр входящего потока определяется следующим образом:

,

где:  - параметр первичного потока вызовов,

j – число источников повторных вызовов (ИПВ),

 - параметр потока одного ИПВ.

Если поток первичных вызовов является примитивным, то:

,

где: n – общее число источников вызовов,

i – число занятых источников,

j – число ИПВ.

Вторая ветвь классификации потоков вызовов связана с функцией распределения промежутков между вызовами.

Наиболее общим видом потока в этой классификации является поток с ограниченным последействием.

Потоком с ограниченным последействием называется поток, у которого промежутки между вызовами взаимно независимы и имеют любые распределения.

.

Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуррентный поток.

Рекуррентный поток характеризуется одинаково распределенными промежутками между вызовами:

F₁(x)=F₂(x)=…=F(x) .

Некоторым обобщением рекуррентного потока является рекуррентный поток с запаздыванием, для которого:

F₁(x)F₂(x)= F₃(x)=…=F(x) .

Стационарный, ординарный, рекуррентный поток с запаздыванием называется потоком Пальма

Для потока Пальма, как и для любого стационарного ординарного потока:

.

Функция распределения первого промежутка между вызовами для потока Пальма определяется как

;

Для остальных промежутков между вызовами:

,

где: Р₀(х) – вероятность отсутствия вызовов на интервале длиной (х).

Важной для практики является следующая теорема Пальма:

Если на КС с явными потерями и с показательным распределением длительности обслуживания поступает поток Пальма, то поток необслуженных (потерянных) вызовов также будет потоком Пальма.

Простейший поток вызовов является частным случаем потока Пальма, для которого все промежутки между вызовами (включая первый) имеют показательное распределение.

В отдельную группу выделяются потоки Эрланга, которые образуются с помощью рекуррентной операции просеивания. Смысл этой операции заключается в том, что очередной поступивший вызов с вероятностью  остается (просеивается), а с вероятностью (1-) теряется. Новый поток называется просеянным.

Поток, полученный из рекуррентного с помощью операции просеивания, также будет рекуррентным.

Важным для практики является случай, когда операции просеивания подвергается простейший поток. В этом случае просеянный поток (имеет место на направлениях КС, работающей в режиме Г) будет также простейшим с параметром - .

Если (m) вызовов теряется, а (m+1) просеивается, то получим поток Эрланга m-го порядка. Например, сохраняя в простейшем потоке каждый 3-ий вызов, получаем поток Эрланга 2-го порядка и т.д.

Простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга 0-го порядка.

Моменты распределения промежутков между вызовами потока Эрланга m-го порядка определяется следующими выражениями:

; ;.

Параметр этого потока:

.

Потоки Эрланга m-го порядка при разных (m) создают потоки с различной степенью случайности:

При (m=0) – простейший;

При (m=) – детерминированный.

В моделях обслуживания входящих потоков важное место занимает поток освобождений.

Под потоком освобождений понимается последовательность окончания обслуживания вызовов.

При обслуживании поступающего потока без потерь при постоянном времени обслуживания (h) свойства потока освобождений совпадают со свойствами входящего потока. Просто происходит сдвиг моментов на величину (h).

При обслуживании простейшего потока без потерь при показательном распределении времени обслуживания, поток освобождений будет также простейшим с параметром, равным числу занятых линий в КС:

,

где: i(t) – число занятых линий в момент (t);

 - параметр потока освобождений одной линии (постоянная обслуживания вызовов).