Тема 1. Потоки вызовов.

1.1 Способы задания потоков вызовов.

Под потоком вызовов понимается последовательность вызовов, поступающих через какие-либо промежутки или в какие-либо моменты времени.

Поток вызовов можно представить:

Рис. 1.1 – К определению потоков вызовов.

Здесь:

t₁-момент поступления 1-го вызова;

t_i-момент поступления i-го вызова;

Отсюда наглядно видно, что поток вызовов можно задать моментами времени

t₁ , t₂ , t₃ , … , t_i , … , t_n .

Под моментами времени ti понимают конец отрезка времени 0, t_i ), где 0 –включен в отрезок, t_i – не включен в отрезок.

Потоки вызовов можно задать:

• Последовательностью моментов времени, когда поступают вызовы.

• Последовательностью промежутков между вызовами.

• Последовательностью чисел, определяющих количество вызовов в течение отрезка времени:

0, t₁ ), 0, t₂ ), …

Различают потоки детерминированные и случайные.

Потоки, в которых вызовы поступают в строго фиксированные моменты времени, называются детерминированными.

Потоки, в которых вызовы поступают в случайные моменты времени, называются недетерминированными или случайными.

Рассмотрим потоки, в которых в любой момент времени может поступить не более одного вызова.

Такие потоки могут задаваться:

1. Последовательностью моментов поступления вызовов.

Рис. 1.2 – Первый способ задания потоков вызовов.

Поток вызовов задается последовательностью чисел t₁, t₂, t₃, … , t_i, t_j … где: t_i , t_j – моменты поступления вызовов, при этом t_j > t_i , если j > i .

t_j - конец отрезка 0, t_j ),

t_i - конец отрезка 0, t_i ).

2. Поток вызовов задается последовательностью промежутков между вызовами

Рис. 1.3 – Второй способ задания детерминированных потоков.

0 – начало отсчета

(z₁  z₂) …………(z_n-1  z_n) …

Поток вызовов задается последовательностью чисел z₁, z₂, z₃, … z_n .

Z₁ – промежуток между началом отсчета и t₁ (момент поступления первого вызова).

Легко видеть, что знание последовательности чисел t₁ , t₂ , t₃ , … , t_n позволяет определить последовательность

z₁, z₂, z₃, … z_n

z₁ =t₁ , т.к. t₁ =0, t₁ ),

z₂ =t₂- t₁

…

z_n =t_n- t_n-1 .

И наоборот, зная последовательности чисел z₁, z₂, z₃, … z_n , можно найти последовательности чисел t₁ , t₂ , t₃ , … , t_n

t₁=z₁

t₂= z₁+z₂

…

t_n= z₁+z₂ + … + z_n

Таким образом, оба рассмотренные задания потоков являются эквивалентными.

3. Поток вызовов задается последовательностью чисел, представляющих собой количество вызовов, поступивших в течение отрезка времени.

Введем функцию x(t) – число вызовов, поступивших от начала отсчета до момента времени t .

0, t₁ )  x(t₁) ,

0, t₂ )  x(t₂) ,

…

0, t_n )  x(t_n) .

Построим функцию x(t)=f(t) :

Рис. 1.5 – Зависимость x(t) = f(t).

В любой момент времени поступает не более одного вызова. Как видно из графика x(t) = f(t), эта функция является неубывающей ступенчатой, претерпевающей скачки, равные 1 в каждый момент поступления вызова.

Если известна x(t), то можно определить последовательность моментов поступления вызовов, т.е.

t₁ , t₂ , t₃ , …, t_n .

Зная последовательность t₁ , t₂ , t₃ , …, tn можно, как было показано ранее, перейти к последовательности z₁, z₂, z₃, … z_n , т.е. все три способа задания потоков являются эквивалентными.

На практике обычно имеют место не детерминированные потоки, а случайные. В случайных потоках вызовы поступают через случайные промежутки времени и в случайные моменты времени.

Однако задать случайный поток можно также с помощью трех рассмотренных способов, но в вероятностном смысле:

• Моменты поступления вызовов;

• Промежутки между моментами поступления вызовов;

• Последовательностью чисел, характеризующих количество вызовов в промежуток времени.

1. Поток вызовов задается последовательностью моментов поступления вызовов

Рис. 1.6 – Первый способ задания случайных потоков вызовов.

Пусть с вероятностью Р момент поступления 1-го вызова t₁ ограничен отрезком времени [y₁ , x₁ ) , где:

y₁ - [0, y₁), x₁ - [0, x₁),

т.е. y₁  t₁  x₁ .

Момент поступления второго вызова лежит на отрезке

[y₂ , x₂ ) , т.е.

y₂  t₂  x₂

………..

y_n  t_n  x_n

Поток вызовов задан в вероятностном смысле последовательностью моментов поступления вызовов, если задана вероятность того, что

P{ y₁  t₁  x₁ , y₂  t₂  x₂ , … ,y_n  t_n  x_n },

где: y₁  y₂  …  y_n ;

x₁  x₂  …  x_n .

Отметим еще раз, что отрезки времени y₁ , x₁ , y₂ , x₂ , … , y_n , x_n имеют общее начало отсчета.

2. Рассмотрим способ задания с помощью промежутков времени между соседними вызовами.

Пусть с какой-то вероятностью Р промежуток z₁, не будет превышать промежуток [0, x₁),

с этой же вероятностью – Р z₂ < [0, x₂)

и так далее, и наконец, с вероятностью Р

z_n < [0, x_n) .

Отметим, что у промежутков [0, x₁), [0, x₂), … , [0, x_n) имеется общее начало отсчета – 0. Тогда можно сказать, что с вероятностью Р справедливо

z₁<x₁, z₂<x₂, … , z_n<x_n .

Поток вызовов задается в вероятностном смысле, если известна последовательность z₁, z₂, z₃, … z_n и для любого значения n задана вероятность того, что

P{ z₁ < x₁ , z₂ < x₂ , … , z_n < x_n ,},

Где отрезки x₁, … , x_n соответствуют соответственно отрезкам

[0, x₁), [0, x₂), … , [0, x_n).

Запишем короче:

P{ z_i < x_i , },

Обозначим через F(x) функцию распределения промежутков между вызовами

F(x)= P{ z < x}.

Если промежутки между вызовами взаимно независимы, то

P{ z_i < x_i , } = F(x₁ ) F(x₂ ) … F(x_n ) = .

3. Задание потока вызовов последовательностью чисел, определяющих количество вызовов, поступающих на заданный отрезок времени.

Рис. 1.7 – Третий способ задания потоков вызовов.

Пусть за время [0,t₁) с вероятностью Р поступит k₁ вызов

x(0,t₁)= x(t₁) = k₁

За отрезок времени [0,t₂) поступит k₂ вызовов

x(0,t₂)= x(t₂) = k₂

И, наконец:

x(0,t_n)= x(t_n) = k_n

Тогда поток вызовов задается последовательностью x(t₁), x(t₂), … , x(t_n), если для любого n задана вероятность

P {x(t₁)=k₁ , x(t₂)=k₂ , … , x(t_n)=k_n}

Здесь t₁, t₂, … , t_n - произвольные моменты времени и необязательно моменты поступления вызовов.

Как и прежде:

t₁<t₂<…<t_n ;

k₁k₂…k_n .

Запишем выражение для вероятности поступления k вызовов за отрезок времени в более компактном виде:

P{x(t_i)=k_i, }.