9.1 Общие сведения.

Большое число задач ТТ в настоящее время не имеют точных аналитических реше­ний. Это объясняется в первую очередь тем, что в большом числе моделей обслуживания требуется учитывать микросостояния систем. К таким системам в первую очередь отно­сятся неполнодоступные КС. Число состояний в таких схемах (см. раздел 5.2). В реаль­ных системахV=50,100 и соответственно С  260  1010. Решение системы уравнений такого порядка невозможно на самых быстродействующих ЭВМ.

Звеньевые КС обладают ещё большим числом состояний и всё сказанное справед­ливо и для этого класса схем.

В этих условиях наиболее эффективным в некоторых случаях единственным сред­ством решения является метод статистического моделирования.

Основным достоинством метода является возможность получения интересующих статистических характеристик с любой наперёд заданной точностью. При этом чем выше требуемая точность, тем в большем объеме необходимо провести статистическое моделирование и, следовательно, требуется больше машинного времени.

Обычно для экономного расходования машинного времени при сохранении тре­буемой точности результатов непосредственное статистическое моделирование истинного процесса обслуживания коммутационной системой входящего потока вызовов заменяется моделированием искусственных вероятностных моделей. В качестве такой модели ши­роко используется моделирование марковской цепью.

9.2 Моделирование случайных величин

Моделирование систем массового обслуживания связано с моделированием случайных ве­личин, имеющих различные распределения: равномерное, показательное, нормальное и др. Для получения таких случайных величин (СВ) используются СВ Х, равномерно рас­пределённая на отрезке, из которой с помощью различных преобразований получают СВ, подчиняющуюся требуемому распределению.

Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке, если её плотностьf () на этом отрезке постоянная и равна единице:

Плотность распределения СВ иногда называют дифференциальной функцией рас­пределения СВ. Интегральная функция распределения (далее просто функция распределе­ния) этой СВ имеет следующий вид:

Плотность f() и функция распределения F() случайной величины Х, равно­мерно распределённой на отрезке , показаны на рис. 9.1

Рис.9.1- Плотность и функция распределения СВ,

равномерно распределенной на единичном отрезке.

СВ Х, равномерно распределённую на отрезке , можно получить из дискретной СВ, равновероятно принимающей значения 0 и 1.

Рассмотрим двоичную дробь:

Х=0, а –1, a –2, …,

где: а –1, a –2, …, есть последовательность независимых СВ, каждая из которых с вероятностью 0,5 принимает значение 0 и с такой же вероятностью единицу, т.е. предос­тавляет дискретную СВ, равновероятно распределенную на отрезке .

Для того чтобы промежутки между соседними значениями равномерно распреде­ленной СВ Х стремились к нулю, необходимо иметь бесконечную последовательность не­зависимых СВ (аi, i = -1, -2, … ) равновероятно принимающих значения 0 и 1 . На практике не­прерывно распределенная СВ моделируется приближенно. При этом может быть достиг­нута сколь угодно высокая точность за счет выбора числа К двоичных разрядов в ЭВМ, определяющих двоичную дробь

0, а –1, a –2, …, а -к

Таким образом, вместо непрерывной СВ, равномерно распределенной на отрезке , моделируется дискретная СВ, равновероятно принимающая значения

С промежутками между соседними значениями К.

Случайные величины Х, равномерно распределённой на отрезке [0,1] обычно полу­чают программным путем на ЭВМ (псевдослучайные числа).

Псевдослучайные последовательности вырабатываются рекуррентным способом по алгоритмам, в которых каждое последующее число получается из предыду­щих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Эти последовательности называются псевдослучайными , т.к. они являются периодическими. Однако период может быть выбран столь большим, что практически этот недостаток можно не учитывать.

Возможность моделирования СВ Х, равномерно распределённой на отрезке , по­зволяет моделировать и непрерывную СВ, распределенную по любому закону

F() = P (<ζ)

Функция распределения СВ  монотонно возрастает от 0 до 1. можно показать, что значение СВ , распределенную по любому закону в интервале [а, b) с плотностью f(), определяется из уравнения.

(9.1)

Для каждой реализации величины Х решается уравнение(9.1) относительно  1, т.е. определяется реализация величины .

Эта процедура показана на рис 9.2.

Рис 9.2. - К определению СВ .

Для каждой конкретной реализации равномерно распределенной СВ Х пря­мая F() =  пересекает кривую функции распределения только в одной точке, абсцисса ко­торой  1, и определяет значение  в этой реализации.

Рассмотрим принцип моделирования СВ , равномерно распределенной в интер­вале [a, b), и СВ, распределенной по конкретному закону. Равномерно распределенная в интервале [а, b) СВ имеет в этом интервале постоянную плотность, равную

Согласно (9.1)

(9.2)

Используя в процессе моделирования каждую реализацию СВ Х и преобразование (9.2), получаем последовательность СВ , равномерно распределенных в интервале [a, b).

СВ ,распределенная в интервале [0, ) по показательному закону с параметром  имеет плотность распределения

Согласно (9.1)

Величина (1 - ) точно так же, как и , является равномерно распределенной на отрезке [0, 1].

Поэтому

Умение моделировать непрерывные СВ  дает возможность моделировать любой поток вызовов, заданный последовательностью функций распределения промежутков между вызовами.

В частности, при моделировании простейшего потока вызовов, последовательность случайных величин Zi (промежутки между вызовами) можно получить используя преобразование (9.3).