7.4. Пример построения однофакторной регрессионной модели связи

Уравнение парной линейной корреляционной связи имеет следующий вид:

,

где - расчетное теоретическое значение результативного признака Y, полученное по уравнению регрессии;

а₀ - среднее значение признака Y в точке x=0;

а₀, а₁ - коэффициенты уравнения регрессии (параметры связи).

Гипотеза о линейной зависимости между признаками Х и Y выдвигается в том случае, если значения обоих признаков возрастают (или убывают) одинаково, примерно в арифметической прогрессии.

Уравнение парной линейной корреляции показывает среднее изменение результативного признака Y при изменении фактора Х на одну единицу его измерения, т.е. вариацию признака Y, которая приходится на единицу вариации фактора Х. Знак параметра указывает направление этого изменения.

Коэффициенты уравнения а₀, а₁ отыскиваются методом наименьших квадратов (МНК). Как изложено в раздел II – Теоретические основы и методика корреляционно-регрессионного анализа данных (п.3 – Моделирование однофакторных корреляционных связей на основе функциональных зависимостей), в основу МНК положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических значений y_i от выровненных . При линейной зависимости критерий минимизации (7.4.1.) принимает вид:

7.4.1.

Для нахождения значений параметров а₀, а₁, при которых функция двух переменных S может достигнуть минимума, приравнивают к нулю частные производные S по а₀, а₁ и тем самым получают систему 2-х уравнений с двумя неизвестными а₀, а₁:

7.4.2.

Сократив каждое уравнение на –2, раскрыв скобки и перенеся члены с х в одну строку, а с y – в другую, для определения а₀, а₁ получают систему:

Эта система называется системой нормальных уравнений МНК для линейного уравнения регрессии.

Все суммы, необходимые для конкретизации нормальных уравнений, определяют по эмпирическим данным (x_i, y_i).

Решая полученную систему, находят искомые параметры а₀, а₁ – коэффициенты линейного уравнения регрессии.

Расчет коэффициента может быть выполнен по формулам:

; 7.4.3.

. 7.4.4.

Иногда эти коэффициенты удобнее вычислять по формулам:

7.4.5.

7.4.6.

где - среднее из произведения; - среднее квадратов;

- произведение средних; - квадрат средних.

Построив линейное уравнение регрессии, следует проанализировать качество синтезированной регрессионной модели, оценить адекватность и практическую пригодность модели, дать ее экономическую интерпретации. Как уже отмечалось, на этапе регрессионного анализа определяется теоретическое выражение связи между признаками (форма связи). Для построения и анализа теоретической линии, определяемой на базе эмпирического материала, необходимо знать параметры уравнения регрессии.

Рассмотрим более подробно определение параметров для линейного уравнения парной регрессии. Рассчитаем эти показатели:

Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

На базе данных таблицы

Таблица 7.4.1.

Вспомогательная таблица для расчета уравнения линейной регрессии

Номер предприятия	Кредитные вложения, млн.руб.	Прибыль банков, млн.руб .			у с крышкой
1	2	3	гр4=гр2*гр3	гр5=гр2*гр2	33,739+0,33*х
11	375	150	56250	140625	157,489
19	384	158	60672	147456	160,459
2	396	168	66528	156816	164,419
12	429	208	89232	184041	175,309
20	492	195	95940	242064	196,099
10	523	213	111399	273529	206,329
25	528	215	113520	278784	207,979
8	537	169	90753	288369	210,949
5	540	210	113400	291600	211,939
4	543	221	120003	294849	212,929
13	552	218	120336	304704	215,899
23	555	191	106005	308025	216,889
7	576	214	123264	331776	223,819
28	589	230	135470	346921	228,109
22	591	239	141249	349281	228,769
24	603	236	142308	363609	232,729
21	610	237	144570	372100	235,039
1	614	256	157184	376996	236,359
27	615	228	140220	378225	236,689
15	618	238	147084	381924	237,679
29	627	265	166155	393129	240,649
14	642	227	145734	412164	245,599
16	653	254	165862	426409	249,229
3	681	252	171612	463761	258,469
30	698	245	171010	487204	264,079
17	704	251	176704	495616	266,059
6	706	278	196268	498436	266,719
9	744	288	214272	553536	279,259
18	759	293	222387	576081	284,209
26	795	303	240885	632025	296,089
итого:	17679	6850	4146276	10750055	6846,24

1. Для построения линейного уравнения регрессии необходимо определить параметры этого уравнения: свободный член уравнения ( ) и коэффициент регрессии ( ). С этой целью построим вспомогательную таблицу.

Определим параметры уравнения линейной регрессии, n – количество банков

7.4.5.

7.4.6.

где - среднее из произведения; - среднее квадратов;

- произведение средних; - квадрат средних.

В уравнении регрессии параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков

В нашем случае мы получили уравнение линейной зависимости

33,739+0,33*х

а0 а1

Коэффициент регрессии а₁ 0,33 показывает, что при увеличении факторного признака Кредитные вложения на 1 млн. руб. значение результативного признака «Прибыль банков» увеличивается в среднем на 0,33 млн руб.

Для построения теоретической линии зависимости рассчитаем этот показатель в таблице 7.4.1.

Теперь графически построим корреляционное поле – затем график с выводом формулы.

Затем ЭКО и ЭКД, см. тему 5.

В Excel- поставить мышь на множество точек корреляционного поля, правой клавишей – добавить Линию тренда, тип, параметры и по индексу детерминации выбрать наиболее адекватную линию регрессии.