4.4. Структурные средние (Мода, Медиана)

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода (Мо) для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности.

Пример нахождения Моды в дискретном ряду распределения

Таблица 4.4.1.

Распределение рабочих N–го цеха по разрядам

Тарифный разряд ( )	Число рабочих, чел.
1-й	10
2-й	20
3-й	40
4-й	60
5-й	50
6-й	20
Итого:	200

Мо=______, т.к. частота является наиболее часто встречающейся в этой совокупности.

Если в дискретном ряду все варианты встречаются одинаково часто, то в этом случае Мода отсутствует. Могут быть распределения, где не один, а два (или более) варианта имеют наибольшие частоты. Тогда ряд имеет две (или более) моды, распределение является бимодальным (или многомодальным),что указывает на качественную неоднородность совокупности по изучаемому признаку.

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(4.4.1.)

где х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Таблица 4.4.2.

Распределение банков по объему кредитных вложений

Номер группы	Группы банков по объему кредитных вложений, млн руб., х	Число банков, f
1	375,00 - 459,00	4
2	459,00 - 543,00	5 fMo-1
3	хМo 543,00 - 627,00	11 fMo
4	627,00 - 711,00	7 fMo+1
5	711,00 - 795,00	3
	Итого	30

Согласно табл.3.3.3. модальным интервалом построенного ряда является интервал 543,0 – 627,0 млн. руб., так как его частота максимальна (f₃ = 11).

Расчет моды по формуле (4.4.1):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности банков наиболее распространенный объем кредитных вложений характеризуется средней величиной ______________________________? млн. руб.

В интервальном ряду моду можно найти графически по гистограмме распределения. Для этого выбирают самый высокий прямоугольник. Затем правую вершину модального прямоугольника, соединим с правым верхним углом предмодального прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника с левым верхним углом послемодального прямоугольника, из точки пересечения опустим перпендикуляр на ось абсцисс, абсцисса точки пересечения и будет модой распределения

Рис. 4.4.1. Определение моды графическим методом

Медиана (Ме) – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда, по обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Главное свойство Медианы:

(4.4.2.)

Сумма абсолютных отклонений вариантов от Медианы меньше, чем от любой другой величины.

Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 3.3.4., графа 5)

Ряд распределения
№ группы	Группа банков по величине кредитных вложений, млн. руб.	Число банков,		Накопленная
		в абсолютном выражении	в %	частота
1	2	3	4	5
1	375,00 - 459,00	4	13,3	4<15
2	459,00 - 543,00	5	16,7	SMе-1 9<15
3	хМе 543,00 - 627,00	fМе 11	36,7	20>15
4	627,00 - 711,00	7	23,3	27
5	711,00 - 795,00	3	10,00	30
	Итого	30	100,00

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4.4.3.)

где х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 3.3.4 (графа 5 или 6).

Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В сквозной задаче медианным интервалом является интервал _____________________? млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота S_? = ____? впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ) банков

Расчет значения медианы по формуле (4.4.3):

млн. руб.

Вывод. В рассматриваемой совокупности банков половина банков имеют в среднем объем кредитных вложений не более _____________________? млн. руб., а другая половина – не менее ______________________? млн. руб.

Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 3.3.4., графа 5 или 6)

Графически Медиану определяют следующим образом: из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является Медианой.

Рис. 4.4.1. Определение медианы графическим методом

Me Mo

375,0 585,0 588,818 593,400 795,0