А число е ≈ 2,71828 – основание натуральных логарифмов.
Особенности кривой нормального распределения:
1. Кривая имеет форму колокола.
2. Так как функция
нормального распределения – чётная,
то есть f(-t)=f(t),
то кривая нормального распределения
симметрична относительно максимальной
ординаты, равной
(при t=0).
Абсцисса этой точки является центром
распределения:
.
3. Ветви кривой,
приближаясь к оси абсцисс, уходят в
,
т.к. функция нормального распределения
принимает бесконечно малые значения
при t=
.
4. Кривая имеет две точки перегиба при , находящиеся на расстоянии от (среднего квадратического отклонения)
5. При =const с увеличением кривая становится более пологой.
При =const с изменением кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс.
6. В промежутке находится 68,3% всех значений признака.
В
промежутке
находится 95,4% всех значений признака.
В
промежутке
находится 99,7% всех значений признака
(Правило трёх ).
Рис. 5.3.1. Кривая нормального распределения
При сопоставлении эмпирической кривой с кривой нормального распределения необходимо проверить эмпирическую кривую на:
- симметричность;
- наличие одной нормальной вершины (не острой и не плоской).
Эмпирические кривые распределения бывают симметричные и асимметричные.
Для симметричных распределений частоты двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра, равны между собой.
Рассчитанные для симметричных рядов характеристики:
=Мо
=Ме;
;
;
Если эти характеристики нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения.
Асимметричные кривые имеют правостороннюю или левостороннюю асимметрию – в зависимости от того, какая ветвь кривой вытянута (в первом случае – правая, во втором – левая).
Для того, чтобы измерить асимметрию, рассчитывают показатели асимметрии.
Наиболее известный среди них – структурный коэффициент асимметрии Пирсона:
(5.3.3.)
Если
>0,
то асимметрия правосторонняя.
В этом случае Mo<Me<
.
Если <0, то асимметрия левосторонняя. В этом случае Mo>Me> .
В симметричных
рядах
,
асимметрия отсутствует
Для сквозной задачи:
,
следовательно ассиметрия левосторонняя.
Наиболее точный коэффициент асимметрии – коэффициент, рассчитанный с использованием центрального момента распределения третьего порядка.
(5.3.4.)
Для симметричного
распределения
После оценки симметричности ряда распределения, переходят к оценке эксцесса.
Эксцесс (в переводе с английского – излишество) – несовпадение вершины эмпирического распределения с вершиной кривой нормального распределения, когда она находится выше или ниже первой.
Следует помнить, что симметричные ряды могут иметь не одну вершину, а, например, три или пять, но такое распределение не будет однородным, и его нельзя считать нормальным.
Показатели эксцесса рассчитывают только для симметричных распределений, имеющих одну вершину.
Сделаем выводы. При нормальном распределении средние показатели наиболее точно отражают характер изучаемого явления.
Чем ближе данное распределение к нормальному, тем его средние характеристики становятся достовернее.