1. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю (так называемое "нулевое" свойство).

– для несгруппированных данных; (4.2.3.)

– для вариационного ряда распределения (4.2.4.)

2. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное (так называемое "минимальное" свойство).

– для несгруппированных данных; (4.2.5.)

– для вариационного ряда распределения (4.2.6.)

3. Если все варианты ряда распределения увеличить или уменьшить на одну и ту же величину или в одно и тоже число раз, то средняя увеличится или уменьшится на ту же величину, или в тоже число раз.

"Нулевое" и "минимальное" свойства средней арифметической применяются:

• для проверки правильности расчёта среднего уровня признака;

• при изучении закономерностей изменения уровней ряда динамики;

• для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

Пример расчета средней арифметической простой

На основании данных нашей сквозной задачи (табл. 0 и табл.3.2.4.) рассчитаем среднюю арифметическую величину кредитных вложений по 30 банкам одного из регионов РФ.

_(4.2.1)

Вывод. Анализ полученных значений показателя говорит о том, что средний объем кредитных вложений банков составляет 589,3 млн. руб.

Пример расчета средней арифметической взвешенной

На основании данных ряда распределения банков по величине кредитных вложений (табл. 3.3.4.) рассчитаем среднюю арифметическую величину кредитных вложений по 30 банкам одного из регионов РФ.

Табл.4.2.1.

Расчетная таблица для расчета средней арифметической взвешенной величины объема кредитных вложений

Группы банков по объему кредитных вложений, (варианта х), млн. руб.	Серединное значение интервалов,	Число банков, (веса) fj	Произведение вариант на частоты
1	2	3	гр.4=гр.2*гр.3
375,00 - 459,00	?	4	?
459,00 - 543,00	?	5	?
543,00 - 627,00	?	11	?
627,00 - 711,00	?	7	?
711,00 - 795,00	?	3	?
Итого		30	?

Формула 4.2.2.

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам 4.2.1. и 4.2.2., заключается в том, что по формуле 4.2.1. средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти банков, а по формуле 4.2.2. средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

4.3. Средняя гармоническая.

Гармоника – подобие, созвучие, средняя гармоническая близка к средней арифметической величине

Средняя гармоническая используется в случаях, когда статистическая информация НЕ СОДЕРЖИТ ЧАСТОТ f по отдельным вариантам, а содержит произведение вариантов на частоты, т.е. содержит величины xf=M.

таблица 4.3.1.

Данные об успеваемости студентов по дисциплине «Статистика» группы 351 за 1 семестр 2009/2010 уч. г. финансово-кредитного факультета ВЗФЭИ

Баллы студентов,баллы (варианта X)	Сумма баллов, М=х*f	Число студентов, чел.
3	18	?
4	40	?
5	20	?
Итого:	78	?

Расчет средней гармонической:

= (балла) (4.3.1.)

Пример. Две автомашины проделали равный путь с разной скоростью: первая машина со скоростью 90 км/час, вторая машина – со скоростью – 110 км/час. Рассчитать среднюю скорость автомобилей.

Решение: на первый взгляд средняя скорость равна:

_{, однако исходя из законов физики среднюю скорость необходимо рассчитать по формуле средней гармонической:}