Тема 5 Статистическое изучение вариации
5.1.Понятие вариации. Основные показатели вариации
5.2. Правило сложения дисперсий и его применение.
5.3. Характеристика формы распределения. (самостоятельно!)
5.1. Понятие вариации. Основные показатели вариации
Вариация – это различия в индивидуальных значениях признака у единиц изучаемой совокупности.
Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя величина с разной степенью точности определяет типичный уровень ряда, а именно, чем меньше различия между вариантами ряда, тем однороднее совокупность, и значит, точнее и надежнее средняя величина.
Если же различия между вариантами велики, то средняя может оказаться ненадежной, нетипичной характеристикой. Это говорит о необходимости оценивать различия между вариантами, т.е. колеблемость (вариацию) признака необходимо измерять.
Пример двух рядов распределения
Таблица 5.1.1.
Данные о прибыли двух предприятий одной из отраслей промышленности за 2007-2009 гг., млн. руб.
№ предприятия |
Прибыль 2007 г. |
Прибыль 2008 г. |
Прибыль 2009 г. |
Предприятие 1 |
95 |
100 |
105 |
Предприятие 2 |
75 |
100 |
125 |
Как видно из таблицы, и у предприятия №1 и №2 среднегодовая прибыль составила ______?_ млн. руб. Однако в первом случае размах вариации прибыли составил ________?_ млн. руб. (____?-____?), а во втором случае –____?_млн. руб. (___?-___?) Следовательно, вариацию (колеблемость) средней величины необходимо изучать.
Схема 5.1.1. Показатели вариации
1. Размах вариации (R) (амплитуда колебаний) – устанавливает предельное значение амплитуды колебаний признака. Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности, то есть это абсолютное отклонение. Имеет размерность изучаемого признака.
(5.1.1.)
Для сквозной задачи:
Однако крайние значения признака могут быть аномальными для данной совокупности, обусловленными какими-то случайными обстоятельствами. Тогда размах вариации будет служить характеристикой только этих двух аномальных единиц совокупности. В этом случае, с целью дальнейшего изучения вариации единиц совокупности, аномальные единицы следует убрать из совокупности.
2. Среднее
линейное отклонение
(
)
– средний модуль
отклонения вариантов признака от средней
арифметической величины признака.
Сохраняет
размерность изучаемого признака.
Для расчета используется формула средней арифметической
простой:
–
для несгруппированных
данных (5.1.2.)
и взвешенной:
– для вариационного
ряда распределения (5.1.3.)
3. Дисперсия (σ2) – средний квадрат отклонений вариантов признака от средней арифметической величины признака.
Размерность для дисперсии не указывается, т.к. дисперсия – промежуточный показатель, рассчитываемый для определения среднего квадратического отклонения (σ).
Дисперсию используют также и как самостоятельный показатель вариации, характеризующий меру вариации в очень однородных совокупностях – с незначительной колеблемостью.
– для
несгруппированных данных (5.1.4.)
– для вариационного
ряда распределения (5.1.5.)
Упрощенные формулы для расчета дисперсии
дисперсия равна среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.
(5.1.6.)
Или
(5.1.7.)
(5.1.8.)
Среднее квадратическое отклонение и дисперсия (σ и σ2) – наиболее часто применяемые показатели вариации, так как они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащей фундаментом математической статистики.
Используя математические свойства дисперсии, расчётные формулы дисперсий можно привести к упрощённому виду.