§1.4. Излучение электромагнитных волн. Волновые уравнения. Электродинамические потенциалы и векторы Герца.

Предположим, что электромагнитное поле, возбуждаемое сторонними источниками, распространяется в однородной изотропной среде. Такое предположение является справедливым, поскольку многие задачи электродинамики могут быть сведены к этому случаю. Перепишем уравнения (1.27а) и (1.27б)

, (1.54а)

, (1.54б)

здесь и - сторонние магнитный и электрический токи, соответственно, при этом  и  являются комплексными величинами.

От уравнений (1.54а и б), которые связывают векторы E и H, для решения некоторых задач электродинамики удобно перейти к уравнениям, в которые входит или только вектор E, или только вектор H.

Возьмем ротор от обеих частей уравнений, и произведя в уравнениях (1.54а, б) взаимную подстановку, получим:

(1.55)

где - квадрат волнового числа (для свободного пространства ).

Если учесть векторное тождество и принять во внимание, что

, (1.56)

, (1.57)

, (1.58)

то уравнения (1.54) сведутся к следующим:

, (1.59а)

, (1.59б)

где

, (1.60а)

(1.60б)

Уравнения (1.58а, б) представляют собой векторные неоднородные волновые уравнения относительно векторов поля E и H. Они являются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Оператор  есть оператор Лапласа.

Для точек пространства, в которых источники отсутствуют, неоднородные уравнения (1.58) переходят в однородные:

, (1.61а)

, (1.61б)

Уравнения (1.59а, б) позволяют, в принципе, найти векторы электромагнитного поля по заданным источникам. Однако из-за сложности правых частей эти уравнения не нашли широкого применения для решения указанной задачи. Обычно используют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а затем через них вычисляют векторы E и H. Этими вспомогательными функциями могут быть либо электродинамические потенциалы: - электрический и - магнитный, либо векторы Герца: - электрический и - магнитный.

В случае гармонических полей и связаны с и постоянным множителем

. (1.62)

В дальнейшем ограничимся рассмотрением вектора Z.

Согласно (1.55) можно предположить, что вектор H является ротором какого-либо другого вектора, т.к. .

Пусть , (1.63)

и .

Подставим (1.61) в (1.53а):

,

или .

Поскольку ротор равен нулю, можно предположить, что вектор, от которого берется ротор, равен градиенту произвольной скалярной функции U.

, . (1.64)

Поставляя (1.62) и (1.63) в уравнение (1.54б), получим волновое уравнение для электрического вектора Герца:

,

,

.

Поскольку скалярная функция U, может быть выбрана произвольно, с целью упрощения последнего выражения наложим на него следующее условие калибровки:

. (1.65)

Тогда уравнение для вектора Герца принимает вид

. (1.66)

Таким образом, для нахождения векторов поля по заданным источникам сигнала сначала необходимо решить уравнение (1.66) относительно вектора Герца, а затем по формулам (1.63) и (1.64) с учетом условия (1.65) можно найти векторы E и H.

Уравнение (1.66) имеет наиболее простое решение в случае однородной безграничной среды с изотропными параметрами. Это решение в любой точке A имеет вид

. (1.67)

В формуле (1.67) интегрирование проводится только по тому объему V, где содержатся сторонние источники, R - расстояние между точкой A, в которой необходимо определить поле, и текущей точкой из объема V (рис.1.7). Подставляя найденное значение вектора Герца из (1.67) в формулы (1.63) и (1.64), находим выражения для электромагнитного поля в точке A.

, (1.68)

. (1.69)

Штрихи в формулах (1.68) и (1.69) означают, что векторные операции проводятся по координатам точек наблюдения A, хотя подынтегральные выражения являются также функциями текущих координат из объема V.

Применяя принцип перестановочной двойственности (1.29) можно распространить полученные соотношения на случай, когда сторонние источники заданы в виде магнитных токов. При этом уравнения (1.66) и (1.67) примут следующий вид:

, (1.70)

. (1.71)

В общем случае, когда сторонние источники описываются как электрическими, так и магнитными токами, выражения для векторов электромагнитного поля можно представить в виде суммы компонент возбуждаемых раздельно электрическими и магнитными токами:

, (1.72)

. (1.73)