§1.7. Электромагнитные волны: плоские, сферические, цилиндрические – решения волнового уравнения

В предыдущих параграфах мы рассмотрели общие вопросы возбуждения электромагнитных волн сторонними электрическими и магнитными токами, и нашли вид решения волнового уравнения для случая вынужденных колебаний. В данном же параграфе рассмотрим поведение электромагнитных волн в средах в отсутствие сторонних источников, т.е. свободные колебания электромагнитного поля. Задачи подобного рода возникают, например, при описании поведения линий передачи и высокочастотных резонаторов.

Запишем однородные волновые уравнения (1.61)

,

.

Решать данные уравнения можно в различных системах координат. Однако, большинство практических случаев распространения волн можно описать пользуясь основными координатными системами: прямоугольной (декартовой), сферической и цилиндрической. Выбор координатной системы определяется в основном простотой записи уравнений и симметрией рассматриваемой системы, например, для расчета поля в прямоугольном волноводе наиболее подходит прямоугольная система координат, а для коаксиального кабеля, имеющего цилиндрическую форму – цилиндрическая и т.п. При этом поверхность равной фазы или фазовый фронт будут иметь форму плоскости для плоской волны, цилиндра для цилиндрической и сферы для сферической волны.

Покажем сделанное нами утверждение.

Плоские волны

Запишем уравнение (1.61а) в декартовой системе координат

, (1.91)

здесь индекс i = x, y или z. Уравнение (1.91) решается методом разделения переменных, в котором, например, компонента поля представляется произведением трех функций зависящих только от одной координаты:

. (1.92)

Подставив (1.92) в (1.91) и разделив результат на fgh, получим

, (1.93)

где два штриха означают вторые производные.

Легко заметить, что в уравнении стоит сумма трех независимых друг от друга функций, зависимых от разных координат, которая при сложении с постоянной величиной дает ноль. Такая ситуация возможна только в случае, когда каждое слагаемое является постоянной величиной, т.е.

, ,

или , , . (1.94)

Объединяя (1.93) и (1.94) получим

. (1.95)

Решением каждого частного дифференциального уравнения в (1.94) является уравнение следующего вида:

. (1.96)

При этом с учетом времени решение будет выглядеть так

, (1.97)

т.е. представляет собой сумму двух бегущих в противоположных направлениях волн: первое слагаемое представляет собой волну, бегущую в положительном направлении оси x, а второе – в отрицательном. Чтобы убедиться в этом зафиксируем значение фазы , при этом для того, чтобы разность в левой части равенства оставалось постоянной величиной с ростом времени, необходимо изменение величины координаты в положительном направлении. Таким образом, общее решение задачи представляет собой произведение волн бегущих в произвольном направлении каждой оси. Для дальнейшего рассмотрения ограничимся случаем, когда все частные решения распространяются в положительных направлениях осей координат. В результате получим

, (1.98)

здесь A – произвольная амплитуда. Очевидно, что уравнение для поверхности постоянной фазы (фазового фронта) имеет вид

(1.99)

и представляет собой плоскость в пространстве. Именно поэтому указанное решение и называется плоской волной.

Определив волновой вектор как

, (1.100)

где , - единичный вектор, показывающий в направление распространения волны, а радиус вектор положения точки пространства как , (1.101)

перепишем (1.98) в виде

. (1.102)

С учетом вышесказанного можно вычислить скорость, называемую фазовой скоростью, с которой фазовый фронт перемещается в пространстве,

. (1.103)

В вакууме (м/с) есть скорость света.

Расстояние в пространстве между двумя одинаковыми значениями фазы в заданный момент времени называется длиной волны . В силу периодичности гармонических функций с периодом 2, можно записать

,

откуда . (1.104)

Совершенно очевидно, что решения для компонент поля и будут иметь вид аналогичный (1.102)

, (1.105)

. (1.106)

При этом вариации каждой компоненты вдоль осей x, y и z должны быть одинаковыми в силу следующего условия

. (1.107)

Кроме того, условие (1.107) определяет ограничения, накладываемые на амплитуды A, B и C. Поскольку

,

то ,

и

.

Откуда следует, что необходимым условием является

. (1.108)

Указанное условие означает, что амплитуда поля плоской волны должна быть перпендикулярна направлению распространения .

Направление магнитного поля может быть найдено из уравнения Максвелла

,

которое дает следующий результат

, (1.109)

здесь  - волновое сопротивление среды.

Из уравнения (1.109) следует, что вектор H, лежит в плоскости перпендикулярной вектору , т.е. направлению распространения волны, и перпендикулярен вектору E.