Поле на поверхности идеального магнитного проводника («магнитная стенка»).

Аналогично вышеприведенной «электрической стенке» может быть введена «магнитная стенка», на которой касательная составляющая напряженности магнитного поля обращается в нуль. Данное граничное условие является математической абстракцией, но позволяет описать поведение поля, например, вдоль ребристых поверхностей или в ряде специфических линий передачи. При этом соотношения между полями на магнитной стенке аналогичны соотношениям между током и напряжением на разомкнутом конце линии передачи, в то время как условия на «электрической стенке» соответствуют соотношениям на закороченном конце линии передачи.

Запишем условия для «магнитной стенки»:

, (1.41а)

, (1.41б)

, (1.41в)

. (1.41г)

Поле на бесконечности («условие излучения»).

Во многих задачах электродинамики приходится рассматривать распространение волн в бесконечной среде или в бесконечно длинных линиях передачи, при этом требуется выполнение условия об обращении в нуль величины поля на бесконечности, связанное с законом сохранения энергии, данное условие называется «условием излучения». Указанное условие позволяет отсекать те возможные решения уравнений, которые отличны от нуля на бесконечном удалении от источника электромагнитного поля.

§1.3. Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойнтинга.

В общем случае источники электромагнитной энергии создают в окружающем пространстве электромагнитные поля, которые накапливают энергию вокруг источника, переносят ее в пространстве и расходуют ее на нагрев среды. Для установившихся синусоидальных колебаний среднее по времени значение энергии электрического поля, накапливаемой в объеме V, определяется выражением

, (1.43)

которое для линейной однородной и изотропной среды с действительной диэлектрической проницаемостью преобразуется к следующему виду

. (1.44)

Аналогично для магнитного поля среднее по времени значение энергии -

, (1.45)

упрощается к виду

, (1.46)

где  - действительное число.

Получим уравнение для закона сохранения энергии электромагнитного поля, выражаемого теоремой Умова-Пойнтинга. Пусть в некотором объеме V, окруженном замкнутой поверхностью S, с параметрами ,  и  действуют сторонние источники электрического и магнитного токов (рис. 1.6). При этом общая объемная плотность электрического тока .

Умножим уравнение (1.27а) на , а уравнение комплексно-сопряженное к уравнению (1.27б) на вектор :

, (1.47а)

. (1.47б)

Вычитая из уравнения (1.46а) уравнение (1.46б) и используя известное из векторного анализа тождество

,

получим

.

Проинтегрировав последнее выражение и применив теорему Остроградского-Гаусса, получим

. (1.48)

Учитывая то, что и , выражение (1.48) можно переписать в виде

. (1.49)

Уравнение (1.49) называется теоремой Умова-Пойнтинга о балансе энергии электромагнитного поля. Рассмотрим элементы уравнения.

Интеграл в левой части уравнения (1.49) представляет собой комплексную мощность, отдаваемую сторонними источниками и в объем V:

. (1.50)

Первое слагаемое в правой части представляет собой поток комплексной мощности, излучаемой через замкнутую поверхность S. Величина , (1.51)

называется комплексным вектором Пойнтинга и определяет направление передачи электромагнитной энергии. С учетом (1.50) первое слагаемое правой части примет вид

. (1.52)

Действительные части и представляют собой средние по времени значения активной мощности, отдаваемой сторонними источниками и излучаемой из объема V, соответственно.

Второй и третий интегралы в (1.48) являются чисто действительными величинами и определяют мощность потерь в объеме V, вследствие конечной проводимости среды, потерь на переполяризацию и перемагничивание среды. Определим указанные интегралы, как мощность потерь в объеме V -

. (1.53)

Уравнение (1.53) выражает закон Джоуля-Ленца, известный из курса физики. Последнее слагаемое в (1.49), согласно (1.44) и (1.46) представляет собой энергию электрического и магнитного поля, накапливаемую в объеме V. Таким образом, теорема Умова-Пойнтинга может быть записана в следующем виде:

.