УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА – «Дифференциальные уравнения».
Часть 3. Системы дифференциальных уравнений.
Занятие 13. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Понятие общего решения. Задача Коши для системы. Решение системы сведением к одному ду более высокого порядка.
|
Ауд. |
Л-4. Гл. 10 |
№ 412, 414, 416, 418, 420, 422*, 427 + 431, 432, 438, 440, 444. |
7+5 |
☺ ☻ ☺
Общие
сведения. Учитывая, что в предлагаемых
для самостоятельных упражнений заданиях
мы ограничиваемся системами, состоящими
из двух уравнений, все общие выражения
относим только к системам двух
дифференциальных уравнений: 
(1)
где функции
,
– заданные, дифференцируемые.
Замечание: при ссылках на отдельные уравнения системы будем использовать двухпозиционные записи; например: (1.1) – ссылка на 1-е уравнение системы (1).
1). Продифференцируем
уравнения (1.1) и (1.2) системы (1) по
,
учитывая, что
– некоторые функции независимой
переменной
:
. (2)
Воспользовавшись уравнениями (1.1) и (1.2), запишем выражение (2) в виде:
. (3)
2). Из выражений
(1.1) и (3) составим систему уравнений:
(4)
Для удобства, в
системе уравнений (4) принято:
,
.
Применяя общие правила решения системы
уравнений, выразим (считая, что это
возможно!) из уравнения (4.1) функцию
и подставим её в уравнение (4.2):
. (5)
3). Уравнение (5) –
дифференциальное уравнение 2-го порядка
для функции
.
Решая это уравнение, получим: 
, (6)
где
,
– произвольные постоянные. Используя
решение
,
вычисляем
и записываем: 
.
4). Используя решения
и
,
оформляем общее решение исходной системы
(1).
••• ≡ •••
Пример
1–412:
Решить систему уравнений:
(1)
Решение:
Замечание:
система уравнений не является линейной,
применим метод сведения системы уравнений
к одному уравнению 2-го порядка относительно
или
.
1). Продифференцируем
по t уравнение (1.1):
=–
,
учтём (1.2) →
=–
.
Далее учитываем из (1.1):
=
,
после чего получаем уравнение:
,
или
.
Последнее равносильно уравнению
.
2). Интегрируя
уравнение
,
получаем:
=
,
или
.
3). Учитывая
уравнение (1.1),
из выражения
=
получаем:
.
4). Общее
решение записывается в виде системы:
.
Ответ: общее
решение системы:
.
Пример
2–414:
Решить систему уравнений:
(1)
Решение:
1). Умножив (1.1)
на
и учитывая (1.2),
получим:
.
Интегрируя последнее, легко получаем:
.
2). Перепишем (1.1),
применяя тождественные преобразования:
=
=
+
.
Учитывая (1.2), запишем:
=
+
,
или
=–
.
Последнее уравнение легко интегрируется
(если иметь в виду
):
.
3). Используя
выражения
и
,
легко получить (сложив эти выражения!):
.
Модифицируя постоянные:
→ 2
;
→ 2
,
запишем:
.
Возводя последнее выражение в квадрат,
и учитывая выражение
,
получим:
=
.
Используя
,
нетрудно получить
=
.
Замечание: Пример хорошо иллюстрирует возможности импровизации при решении системы ДУ применением метода сведения системы к одному уравнению высшего порядка.
Ответ: общее
решение системы:
.
Пример
3–416:
Решить систему уравнений:
(1)
Решение:
1). Из уравнения
(1.1) получим:
=
,
аналогично из (1.2):
=
.
Эти два выражения дают:
=
→
.
2). Учитывая
,
перепишем (1.1):
=
→
=
.
Или в виде:
=
– однородное уравнение в стандартной
форме. Его стандартное решение даёт:
.
Замечание:
проверка условия:
здесь не нужна из-за участия произвольной
постоянной величины
.
Ответ: общее
решение системы:
.
Пример
4–418:
Решить систему уравнений:
=
=
(1)
Решение:
1). Из уравнения:
=
получаем:
.
Учитывая полученное выражение, запишем
уравнение:
=
или:
=1+
.
2). Полученное
уравнение стандартным алгоритмом
приводится к уравнению с разделяющимися
переменными! Пусть:
,
вычислим производную по переменной
,
имеем:
.
Тогда
,
окончательно:
– переменные разделились! Интегрируя
последнее, получаем выражение:
,
или
.
Ответ: общее
решение системы:
,
.
Пример
5–420:
Найти общее и частное решения:
,
. (1)
Решение:
1). Продифференцируем
уравнение (1.2):
=–
=
.
Учитывая уравнение (1.2) получим уравнение:
,
которое не содержит переменной
и решается понижением порядка.
→
.
Тогда имеем:
,
или (так как из уравнения (1.2):
)
уравнение:
– уравнение с разделяющимися переменными,
откуда:
и далее выражение:
.
2). Дифференцируем
выражение:
и используем уравнение (1.2). Полученное
выражение для функции
:
.
3). Общее решение
уравнения:
,
.
4). Используя
заданные начальные условия, имеем:
,
,
откуда получаем величины
,
.
Записываем частное решение:
,
.
Ответ: Частное
решение:
,
.
Пример
6–422*:
Для системы уравнений:
и функций
и
.
проверить, являются
ли соотношения
первыми интегралами системы.
Решение:
Замечание: 
является первым интегралом системы
,
тогда и только тогда, когда:
.
(1)
1). Проверим уравнение
(1) для функции
:
– тождественно.
Является.
2). Проверим уравнение
(1) для функции
:
.
Не является.
Ответ: соотношение
–
является, а соотношение
–
не является.
Пример
7–427:
Решить систему уравнений:
(1).
Решение:
1). Перепишем
уравнение (1.1):
→
.
Для дальнейшего использования уравнение
(1.2) запишем в виде:
.
2). Продифференцируем
уравнение (1.1):
.
Учитывая выражения для функции
и для произведения
,
получим уравнение
,
которое после умножения на
.
принимает вид: 
– уравнение Эйлера. (2)
3). Применим
подстановку:
.
Вычисляя производные
,
и учитывая уравнение (2), получаем
уравнение:
.
Его корни:
=
,
=
.
4). Записываем ФСР:
=
и
=
.
Общее решение:
=
.
5). Вычислим
производную:
.
Учитывая полученное ранее выражение
,
получаем:
=
.
Ответ: общее
решение системы
=
;
=
.
Замечание: обратим внимание на особенности применения способа решения системы ДУ сведением к уравнению высшего порядка для одной из искомых функций: здесь интенсивное применение средств математического анализа сочетается с достаточно тонкими средствами школьной алгебры!..
☺☺
Общие
сведения. Учитывая, что трудоёмкость
решения систем дифференциальных
уравнений существенно зависит от числа
функций, участвующих в построении
системы, в предлагаемых для самостоятельных
упражнений заданиях мы ограничиваемся
системами, состоящими из двух уравнений.
Поэтому все общие выражения, применяемые
при решении систем уравнений, относим
только к системам двух дифференциальных
уравнений:
(1)
где
–
действительные числа (постоянные);
,
– искомые, дифференцируемые функции.
Замечание: при ссылках на отдельные уравнения системы будем использовать двухпозиционные записи; например: (1.1) – ссылка на 1-е уравнение системы (1).
☻
Вопросы для самопроверки:
-
Что такое «нормальная форма» записи системы уравнений 1-го порядка?
-
Как уравнение n-го порядка представить в виде системы уравнений 1-го порядка?
-
Как систему уравнений 1-го порядка сводят к одному уравнению n -го порядка?
-
Как записывают начальные условия для системы трёх уравнений 1-го порядка?
☺☺
Общие
сведения. Учитывая, что трудоёмкость
решения систем дифференциальных
уравнений существенно зависит от числа
функций, участвующих в построении
системы, в предлагаемых для самостоятельных
упражнений заданиях мы ограничиваемся
системами, состоящими из двух уравнений.
Поэтому все общие выражения, применяемые
при решении систем уравнений, относим
только к системам двух дифференциальных
уравнений:
(1)
где
–
действительные числа (постоянные);
,
– искомые, дифференцируемые функции.
Замечание: при ссылках на отдельные уравнения системы будем использовать двухпозиционные записи; например: (1.1) – ссылка на 1-е уравнение системы (1).
Решение системы
уравнений подсказывает равносильность
системы (1) линейному дифференциальному
уравнению 2-го порядка с постоянными
коэффициентами для любой из функций
,
,
а также свойство производной функции
:
при дифференцировании вид функции не
меняется. Так как в системе уравнений
участие функций
,
согласовывается
при помощи коэффициентов
,
то, нетрудно догадаться, что решение
системы следует искать в виде: 
,
, (2)
причем коэффициенты
,
=1,2
– будут определяться из условия, что
совокупность функций в записи (2) есть
решение системы уравнений (1):
или
(3)
Замечание:
система уравнений (3) записана с учётом
деления каждого из уравнений на общий
множитель:
.
Известно, система линейных однородных (алгебраических) уравнений имеет ненулевые решения только в случае, если её определитель равен нулю:
=
=0. (4)
Уравнение-многочлен
=0
называется характеристическим
для системы (1), его корни – характеристическими
корнями этой системы.
Дальнейшее использование полученных характеристических корней зависит от их вида. Различают случаи:
Случай-1.
Корни уравнения ∆(k)
= 0 действительные и различные:
,
.
Для каждого
из системы (3) определится набор
коэффициентов:
,
,
=1,2,
что определит полный набор решений
системы (1):
=
·
,
=
·
,
(5)
Учитывая теорему: сумма решений однородной системы уравнений – тоже решение, можем записать общее решение системы уравнений (1):
=
·
+
·
=
·
·
+
·
·
, (6)
где
,
- произвольные постоянные. Запись (6)
называют общим
решением
системы уравнений (1).
Если
заданы начальные условия:
=
,
=
,
можно определить такие значения
,
,
что из множества интегральных кривых
будет выделена та, которая проходит
через точку
.
Случай-2.
Корни уравнения ∆(k)
= 0 комплексные:
=
.
Для пары корней
из системы (3) определятся:
=
i
;
=
i
.
Применим сначала знак
,
запишем решение системы (1):
=
·
=
·
, (7)
после выполнения операций умножения комплексных чисел и несложных тождественных преобразований в выражении (7) получим:
=
·
=
·
+
·
. (8)
Аналогично, применяя
знак
,
получаем решение системы (1) с теми же
величинами, но только со знаком
перед мнимой единицей
:
=
·
=
·
–
·
. (9)
Известно (была доказана теорема!), что от записей решений системы (1) с использованием выражений (8) и (9) можно перейти к записям:
=
·
и 
=
·
. (10)
Учитывая теорему: сумма решений однородной системы уравнений – тоже решение, можем записать общее решение системы уравнений (1):
=
·
+
·
=
·
·
+
·
·
, (11)
где
,
- произвольные постоянные. Запись (11)
называют общим решением
системы уравнений (1) для пары
характеристических корней
.
Если заданы
начальные условия:
=
,
=
,
можно определить такие значения
,
,
что из множества интегральных кривых
будет выделена та, которая проходит
через точку
.
Случай-3.
Корни уравнения ∆(k)
= 0 действительные и равные:
=
=
.
Для каждого
из системы (3) определится набор
коэффициентов:
=
и
=
.
Это значит, что необходимо как-то учесть
равенство (кратность) характеристических
корней. В отличие от способа учёта
кратных корней при решении уравнений
высшего порядка для одной функции, в
случае системы уравнений ищут сразу
пару решений, используя
конструкцию: 
=
·
,
(12)
Так как выражение
(12) должно быть решением, то необходимо
участвующие параметры подчинить
заданной системе уравнений (1). Подставим
(12) в систему (1), сократив на число
,
получим систему тождеств:
(13)
Приравнивая в
тождествах (13) коэффициенты при одинаковых
степенях
,
получаем системы уравнений: при
: 
(14)
при
: 
(15)
Порядок нахождения
параметров
,
=1,2
из систем уравнений (14) и (15):
1). Из системы (14)
находим параметры
:
так как определитель системы равен 0,
то ненулевые решения у системы найдутся.
Принимая свободную неизвестную
=
,
получим в выражении (12) участие свободной
неизвестной. Параметр
будем использовать как произвольную
постоянную в записи решения системы
(1) – признак общего решения системы!
2). Используя
найденные параметры
,
решаем систему уравнений (15). Это система
также имеет ненулевые решения:
.
Принимая свободную неизвестную
=
,
получим в выражении (12) участие ещё одной
свободной неизвестной. Параметр
будем использовать как произвольную
постоянную в записи решения системы
(1) – признак общего
решения системы!
Итак, получено общее решение системы дифференциальных уравнений (1) для случая кратных действительных корней.
Если
заданы начальные условия:
=
,
=
,
можно определить такие значения
,
,
что из множества интегральных кривых
будет выделена та, которая проходит
через точку
.
••• ≡ •••
Пример
1–431:
Решить
систему линейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни системы:
=
= 0, откуда получаем:
=1,
=2.
Для каждого
определится набор коэффициентов:
,
,
что определит полный набор решений
заданной системы:
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (1.1)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(2.1)
3).
Для
корня
=1
система (2.1) имеет решение
=
;
для
=2
система (2.1) имеет решение:
=
.
Замечание: решение системы (2.1) проводится по известным правилам из курса «Линейная алгебра».
4). С учетом полученных
векторов
,
составим общее решение исходной системы
дифференциальных уравнений:
=1,
=0
=
+
=
∙
+
∙
.
(3.1)
Ответ:
общее решение системы:
=
+
=
∙
+
∙
.
Пример
2–432:
Решить систему уравнений:
при условии:
.
Решение:
1). Найдем
характеристические корни системы:
=
= 0, откуда получаем:
=2,
=4.
Для каждого
определится набор коэффициентов:
,
,
что определит полный набор решений
системы (1):
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (1)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(2)
3).
Для
корня
система (2) имеет решение
=
;
для корня
система (2) имеет решение:
=
.
4). С учетом полученных
векторов
,
составим общее решение исходной системы
дифференциальных уравнений: 
=
+
=
∙e2t
+
∙e4t.
(3)
5). Учитывая начальные условия и запись общего решения, получим:
=
+
,
откуда
=1,
=0. (4)
6). Используя
результаты (4), запишем частное решение
системы, удовлетворяющее начальным
условиям: 
=
∙e2t. (5)
Ответ:
Общее решение системы:
=
∙
+
∙
,
частное:
=
∙
.
Пример
3–438:
Найти частное решение системы:
если:
.
Решение:
1). Найдем
характеристические корни системы:
=
= 0, откуда получаем:
=
=–1;
=2.
В этом случае решение системы для
кратного корня
=–1
необходимо искать в виде: 
, (1.4)
2). Подставим (1) исходную систему уравнений:
(2.4)
3). Так как в системе
уравнений (2.4) каждое уравнение является
тождеством, то все неизвестные коэффициенты
найдем, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях:
и
:
при
: 
откуда получаем:
; (3.4)
при
: 
получаем:
=
. (4.4)
В данной задаче,
если в уравнении (3.4) принять в качестве
свободных неизвестных две из неизвестных
,
то из (4.4) получается
,
то есть неизвестные не могут быть
свободными в общей системе (3.4),(4.4). Тогда
из (4.4):
получаем значения остальных параметров:
,
,
.
4). Учитывая
полученные в (3) значения коэффициентов,
можно представить запись (1) в виде: 
,
(5.4)
5). Для определения
вектора
составим систему уравнений:
(6.4)
6). Для корня
из системы (5) имеем:
=
,
тогда:
=
∙
∙
. (7.4)
7). С учетом полученных решений (4.6) и (6.6), составим общее решение исходной системы дифференциальных уравнений (с учетом свойств матриц):
=
+
∙
∙
. (8.4)
8). Учитывая начальные условия и запись общего решения, получим:
=
+
∙
,
откуда
=1,
=1,
=1. (9.4)
9). Используя
результаты (8.6), запишем частное решение
системы, удовлетворяющее начальным
условиям: 
=
∙
+
∙
. (10.4)
Ответ: частное
решение системы:
=
∙
+
∙
.
Пример
4–440:
Решить систему уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни системы:
=
= 0, откуда получаем:
=1,
=2;
=3.
Замечание:
решение уравнения
=
=0
проводится по Виету: угадали все корни
как множители числа 6.
2). Для каждого
определится набор коэффициентов:
,
,
,
что определит полный набор решений
системы (1):
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, 
=
∙
=
∙
,
(1.5)
3). Для определения
векторов
,
,
составим систему уравнений:
(2.5)
4).
Для
значения
система (2.5) имеет решение:
=
,
для значения
система (2.5) имеет решение:
=
,
для значения
система (2.5) имеет решение:
=
.
5). С учетом полученных
векторов
,
,
составим общее решение исходной системы
дифференциальных уравнений:
=
+
+
=
∙
+
∙
+
∙
.
(3.5)
Ответ:
Общее решение системы:
=
∙
+
∙
+
∙
.
☺☺
Пример
5–444:
Решить
систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функций
=
и
=
):
∆(k)=
=0,
откуда получаем:
=
,
=
.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
=
+
,
(1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (2)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3)
3). Для значения
=
=
система (3) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙
=
=
. (4)
4). Для значения
=
=
система (3) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙
=
=
, (5)
то есть решения
и
(выражения (4)и (5)) комплексно-сопряженные.
5). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: 
=
, 
=
. (6)
6). С учетом выражений
(6) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
+
.
(7)
7). Так как функции:
=
и
=
– имеют специальный вид и общее образующее
число
,
причем совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
.
(8)
8). Подставляя (8) в заданную систему, получаем систему тождеств:
=
=
, (9)
=
=
.
Приравнивая
коэффициенты при подобных членах
тождеств (9), получим алгебраическую
систему уравнений, решением которой
является:
=–1,
=
=
=
=
=0,
=
=1.
Тогда (8) можно записать в виде:
=
(10)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
.
(11)
Ответ:
Общее решение:
=
∙
.
Вопросы для самопроверки:
-
Как по записи системы уравнений 1-го порядка определить, что она линейная?
-
Почему линейная система однородных уравнений с постоянными коэффициентами удовлетворяет требованиям теоремы «о существовании и единственности решений»?
-
Как записывают характеристический многочлен для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как записывают общее решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как находят частное решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как учитывают кратность характеристических корней при решении системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
☺☺