- •Часть 3. Системы дифференциальных уравнений.
- •Занятие 13. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Понятие общего решения. Задача Коши для системы. Решение системы сведением к одному ду более высокого порядка.
- •Занятие 14. Решение системы ду методом Эйлера.
- •Занятие 15. Решение системы дифференциальных уравнений: методом неопределённых коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных.
- •Занятие 16. Исследование устойчивости решений однородных систем с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости по первому приближению.
- •Исследование устойчивости по первому приближению
Исследование устойчивости по первому приближению
Теперь, для придания общности используемым алгебраическим выражениям, не теряя их компактности, рассмотрим систему 3-х дифференциальных уравнений 1-го порядка:
(3)
где функции ,, имеют непрерывные производные по переменным , причём вдоль тривиального решения: ≡0, ≡0, ≡0 эти производные постоянны, то есть: =, =, =,
=, =, =, (4)
=, =, =,
где коэффициенты – действительные числа (постоянные). В сделанных предположениях для функций: ,, можем воспользоваться разложением в ряд Тейлора: =+,
=+, (5)
=+,
где ,, – бесконечно малые порядка выше первого в окрестности точки: . Перепишем систему (3), применяя выражения (5):
(6)
Замечание: Так как системы (3) и (6) эквивалентны, то решение вопросов устойчивости для них одинаково: если решение устойчиво для (3), то оно устойчиво и для (6)!
Теперь введём в систему уравнений «неточность»: отбросим бесконечно малые φ1,φ2,φ3 и заменим систему (6) системой: (7)
Систему (7) называют системой первого приближения для нелинейной системы дифференциальных уравнений (3).
Замечание: До Ляпунова при исследовании вопроса об устойчивости ограничивались в основном изучением устойчивости в первом приближении, считая, что полученный результат можно отнести и к исходной, нелинейной, системе. Ляпунов показал, что в общем случае это неверно, в то же время он дал ряд примеров нелинейных систем, для которых вопрос об устойчивости решается до конца по первому приближению!
Запишем без доказательства теоремы, которые наглядно показывают, как используются определённые в выражениях (3)-(7) величины.
Теорема: (14.1) |
Если: 1) корни характеристического уравнения системы (5) имеют отрицательную действительную часть, и для функций выполняется условие: 2) , , – постоянная величина, , то тривиальное решение системы уравнений (4) устойчиво. |
Замечание: Очевидно, что если тривиальное решение устойчиво для системы (6), то оно устойчиво и для системы (7), причём асимптотически. В таком случае имеем: если тривиальное решение однородной системы (7) устойчиво, то оно устойчиво асимптотически!
Так же наглядно применение теоремы, определяющей достаточные условия неустойчивости решений системы:
Теорема: (14.2) |
Если: 1) хотя бы один корень характеристического уравнения системы (5) имеет положительную действительную часть, и для функций выполняется условие: 2) , , –постоянная величина, , то тривиальное решение системы уравнений (4) неустойчиво. |
Если у нескольких характеристических корней, не являющихся кратными, действительные части равны нулю, а у остальных отрицательные, то движение будет устойчивым, но не асимптотически. Если среди корней имеются кратные, то устойчивости, в общем случае, не будет, даже если у остальных вещественная часть отрицательна!
Использование результатов теорем становится особенно наглядным, если применить классификацию точек покоя по тому, как «ведут себя траектории возмущённого движения» в окрестности этих точек. Для изображения траекторий движения на плоскости в окрестности точки покоя воспользуемся системой дифференциальных уравнений:
→ (8)
при начальных условиях: =0,=0.
В соответствии с теоремами об устойчивости решений имеем аналитическая характеристика точек покоя:
▪ если ни один из корней k1, k2 характеристического уравнения не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво;
▪ если же хотя бы один корень лежит слева от мнимой оси или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво.
На рисунках, представленных в таблице 1, легко видим геометрические характеристики точек покоя:
▪ если точка покоя устойчива, то при небольших отклонениях от нее с течением времени движущаяся точка возвратится в точку покоя;
▪ если точка покоя неустойчива, то при небольших отклонениях от нее с течением времени движущаяся точка удалится от точки покоя как угодно далеко.
В таблице 1 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ действительны и различны, определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией.
Таблица 1
Корни , – действительные: ≠ |
Характер точки покоя |
Устойчивость точки покоя |
< 0, < 0. Устойчивый узел |
|
Асимптотически устойчива. |
> 0, > 0. Неустойчивый узел |
|
Неустойчива. |
> 0, < 0. Седло |
Неустойчива. |
В таблице 2 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ комплексные (сопряжённые), определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией.
Таблица 2
Корни = - комплексные |
Характер точки покоя |
Устойчивость точки покоя |
< 0, ≠ 0. . Устойчивый фокус |
|
Асимптотически устойчива. |
> 0, ≠ 0. Неустойчивый фокус |
|
Неустойчива. |
= 0, ≠ 0. Седло |
Устойчива. |
В таблице 3 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ действительные кратные, определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией. Так как для создания «зрительного образа» мы рассматриваем только системы ДУ 2-го порядка, то кратность комплексных корней не рассматриваем.
Таблица 3
Корни = – действительные: кратные |
Характер точки покоя |
Устойчивость точки покоя |
==<0.
Устойчивый узел
|
|
Асимптотически устойчива. |
|
||
==>0.
Неустойчивый узел |
|
Неустойчива. |
|
Рассмотрим несколько Примеров исследования устойчивости, начав с линейных систем вида (7), которые могли бы быть результатом линеаризации некоторой нелинейной системы дифференциальных уравнений вида (3).
••• ≡ •••
Пример 1–456: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:
Решение:
1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: ==.
2). Так как α>0, β≠0, то система неустойчива: неустойчивый фокус.
Ответ: система неустойчива: неустойчивый фокус.
Пример 2–458: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:
Решение:
1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: ==.
2). Так как α>0, β≠0, то система неустойчива: неустойчивый фокус.
Ответ: система неустойчива: неустойчивый фокус.
Пример 3–460: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:
Решение:
1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: =.
2). Так как корни , то система асимптотически устойчива: устойчивый узел.
Ответ: система неустойчива: устойчивый узел.
Пример 4–462: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:
Решение:
1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: =.
2). Рассмотрим поведение системы в зависимости от значений параметра α:
▪ пусть корни действительные: , < 0 → и < → можно неравенство возвести в квадрат: , откуда: , но не имеет решения → обеспечить устойчивость невозможно;
▪ пусть корни действительные: = → → это требует =0, или =4 при условии: → такое невозможно → и в этом случае обеспечить устойчивость невозможно;
▪ пусть корни комплексные: =. Необходимо выполнение условий → это требует (2-е неравенство: метод интервалов!) при условии первого неравенства: → такое невозможно → и в этом случае обеспечить устойчивость невозможно;
Ответ: устойчивость системы за счёт выбора параметра обеспечить не удалось.
Вопросы для самопроверки:
-
Каково назначение раздела теории ДУ: теория устойчивости?
-
Что такое: невозмущённое движение и возмущённое движение?
-
Что такое точка покоя?
-
Что значит: устойчивость тривиального решения системы?
-
Какие случаи устойчивости точки покоя реализуются, если характеристические корни системы действительные, разные?
-
Какие случаи устойчивости точки покоя реализуются, если характеристические корни системы комплексные?
-
Какие случаи устойчивости точки покоя реализуются, если характеристические корни системы действительные, кратные?
-
Как случаи устойчивости точки покоя изображаются на комплексной плоскости?
☺☺