Занятие 15. Решение системы дифференциальных уравнений: методом неопределённых коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных.
|
Ауд. |
Л-4. Гл. 10 |
№ 442, 444, 445. |
3 |
☺ ☻ ☺
Общие сведения. Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x,y,z:
(1)
где функции
,
,
– непрерывные функции переменной
,
заданы в соответствии с правилом (4) и
хотя бы одна из
них не равна нулю. Функции
,
,
– искомые решения.
Общий алгоритм решения неоднородного уравнения:
1*.
Записываем соответствующую неоднородной
системе уравнений (1) однородную систему
(без функций
,
,
): 
(2)
и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе Пособия 12 методами).
2*.
Находим частное решение системы (1)
однородную систему, учитывая конкретный
набор функций
,
,
.
3*.
Записываем общее решение системы (4) в
виде: 
=
+
. (3)
4*. Находим решение системы (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Записанный алгоритм
содержит величины:
,
,
,
вычисление которых зависит и от набора
функций:
,
,
,
и от особенностей заданной системы (1).
Не станем записывать общих формул,
которые охватили бы самый общий набор
функций
,
,
и получающихся выражений для вычисления
функций:
,
,
.
Правила решения системы (1) вполне понятны
из рассмотрения конкретных Примеров!
••• ≡ •••
Пример
1–442:
Решить
систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функции
):
=
=0,
откуда получаем:
=1–i;
=1+i.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде: 
=
+
, (1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (2)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3)
3). Для
=1–i
система (3) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙
=
=
. (4)
4). Для
=1+i
система (3) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙
=
=
. (5)
т.е. решения
и
– комплексно-сопряженные.
5). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: 
=
,
=
(6)
6). С учетом выражений
(6) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
∙
+
∙
.
(7)
7). Так как функция:
– имеет специальный вид, ее образующее
число
=
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде: 
=
,
ее производные: 
=
. (8)
8). Подставляя (8) в заданную систему, получаем систему тождеств:
откуда следует:
=–1,
=0. (9)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
+
∙
∙
+
∙
=
∙
.
(10)
Ответ:
общее решение:
=
∙
.
Пример
2–444:
Решить
систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функций
=
и
=
):
∆(k)=
=0,
откуда получаем:
=
,
=
.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
=
+
,
(1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (2)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3)
3). Для значения
=
=
система (3) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙
=
=
. (4)
4). Для значения
=
=
система (3) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙
=
=
, (5)
то есть решения
и
(выражения (4)и (5)) комплексно-сопряженные.
5). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: 
=
, 
=
. (6)
6). С учетом выражений
(6) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
+
.
(7)
7). Так как функции:
=
и
=
– имеют специальный вид и общее образующее
число
,
причем совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
.
(8)
8). Подставляя (8) в заданную систему, получаем систему тождеств:
=
=
, (9)
=
=
.
Приравнивая
коэффициенты при подобных членах
тождеств (9), получим алгебраическую
систему уравнений, решением которой
является:
=–1,
=
=
=
=
=0,
=
=1.
Тогда (8) можно записать в виде:
=
(10)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
.
(11)
Ответ:
Общее решение:
=
∙
.
Пример
3–445:
Решить
систему линейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функций
,
):
=
= 0, откуда находим:
=–i;
=i.
2). В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:
=
+
,
(1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (2)
3). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3)
4). Для
=–i
система (3) имеет решение:
.
Тогда можно записать:
. (4)
5). Для
=i
система (3) имеет решение:
.
Аналогично получаем:
. (5)
то есть решения
и
– комплексно-сопряженные.
6). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: 
=
,
=
(6)
7). С учетом выражений
(6) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
+
.
(7)
8). Для нахождения
искомых функций x(t),
y(t)
применяют метод «вариации произвольных
постоянных. Для этого считают
,
функциями переменной
,
которые находят из системы уравнений: 
или
(8)
9). Так как определитель системы (3) не равен нулю, система имеет решение:
или после
интегрирования:
(9)
где
,
– произвольные постоянные интегрирования.
Подставляя (9) в (7), получим общее решение
неоднородной системы уравнений:
=
=
. (10)
Ответ:
Общее решение:
=
.
Вопросы для самопроверки:
-
Как по записи системы уравнений 1-го порядка определить, что она линейная?
-
Почему линейная система однородных уравнений с постоянными коэффициентами удовлетворяет требованиям теоремы «о существовании и единственности решений»?
-
Как записывают характеристический многочлен для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как записывают общее решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как находят частное решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
-
Как учитывают кратность характеристических корней при решении системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?
☺☺