Часть II. Теория линий передачи

Теория линий передачи лежит на стыке теории линейных электротехнических цепей и теории электромагнитного поля. В связи с этим в данном разделе будут представлены оба подхода к описанию линий передачи и показана их идентичность по полученным результатам. Представленный в данном разделе материал позволит освоить математический аппарат и получить необходимые представления о методах расчета и проектирования линий передачи СВЧ энергии, являющихся общими для широкого класса СВЧ устройств.

§ 2.1. Применение теории цепей для анализа линий передачи

Рис.2.1. Элемент длинной линии (а) и его эквивалентная схема (б)

Основное отличие между теорией цепей с сосредоточенными параметрами и теорией линий передачи определяется электрическими размерами элементов. В теории цепей предполагается, что физические размеры схемы много меньше рабочей длины волны, в то время как линии передачи могут быть размером от долей длины волны до множества длин волн. Поэтому линии передачи являются системами с распределенными параметрами, для которых характерно изменение амплитуды и фазы токов и напряжений вдоль линии передачи.

Как показано на рис.2.1а, линия передачи схематично изображается в виде двухпроводной линии. Отрезок линии передачи бесконечно малой длины , показанный на рис.2.1 а, может быть заменен эквивалентной схемой, как показано на рис.2.1 б, где

R - удельное значение последовательно включенного сопротивления, ,

L - удельное значение последовательно включенной индуктивности, ,

G - удельное значение параллельно включенной проводимости, ,

C - удельное значение параллельно включенной емкости .

Последовательная индуктивность L определяет собственную индуктивность двух проводников, а емкость C определяет взаимную емкость между проводниками. Последовательное сопротивление R выражает сопротивление металлических проводников с конечной собственной проводимостью, а параллельная проводимость G - отличную от нуля величину собственной проводимости диэлектрика окружающего проводники. Таким образом, R и G определяют потери в линии передачи. Линия передачи конечной длины может быть представлена каскадным соединением элементов показанных на рис.2.1б.

Применяя к схеме на рис.2.1б второй закон Кирхгофа, получим

, (2.1а)

а согласно первому закону Кирхгофа для токов, имеем

. (2.1б)

Разделим (2.1а) и (2.1б) на и, учитывая предел , получим соотношения

, (2.2а)

. (2.2б)

Уравнения (2.2) называются телеграфными уравнениями.

В случае синусоидальных колебаний токов и напряжений с применением комплексных амплитуд уравнения (2.2) принимаю вид

, (2.3а)

. (2.3б)

Волны напряжений и токов в линии передач

Дифференцируя выражения (2.3) по z и выполняя подстановку вместо первой производной по z ее значение из (2.3), получим волновые уравнения для напряжений и токов:

, (2.4а)

, (2.4б)

где (2.5)

есть постоянная распространения, являющаяся функцией частоты. Решения уравнений (2.4) имеют вид

, (2.6а)

, (2.6б)

здесь множитель определяет волну, бегущую в направлении + z, а множитель - волну, бегущую в противоположном направлении. Применение выражения (2.3а) к уравнению для напряжения (2.6а) приводит к следующему соотношению для тока

.

Сравнение последнего выражения с уравнением (2.6б) позволяет определить характеристическое сопротивление линии передачи

, (2.7)

связывающее токи и напряжения в линии передачи

. (2.8)

С учетом (2.8) выражение (2.6б) перепишем в следующем виде:

. (2.9)

Таким образом, в линии передачи распространяются, в общем случае, затухающие колебания напряжения и тока с длиной волны

, (2.10)

и фазовой скоростью . (2.11)