Линия передачи без потерь

Рассмотренное выше решение волновых уравнений является общим и учитывает потери в линии передачи, при этом постоянная распространения и волновое сопротивление являются комплексными величинами. Однако, во многих практических приложениях потерями в линии можно пренебречь, что приведет к упрощению полученных выражений. Итак, задавая в выражении (2.5), получим уравнение для постоянной распространения

,

т.е. , (2.12а)

. (2.12б)

Характеристическое сопротивление из (2.7) преобразуется к виду

, (2.13)

и становиться действительным числом. В результате выражения для волн напряжений и токов в линии без потерь могут быть записаны следующим образом

, (2.14а)

. (2.14б)

При этом длина волны в линии

, (2.15)

а фазовая скорость . (2.16)

§2.2. Применение теории электромагнитного поля для анализа линий передачи

В данном параграфе мы получим телеграфные уравнения из теории электромагнитного поля с помощью уравнений Максвелла на примере коаксиальной линии передачи. Но начнем с того, что получим параметры линии (R, L, G, C) передачи произвольного поперечного сечения.

Параметры линии передачи

Рис.2.2. Поперечное сечение однородной линии передачи

Рассмотрим отрезок однородной линии передачи длиной 1 м, в которой существуют поля E и H, как показано на рис. 2.2, где S - площадь поперечного сечения линии передачи. Предположим, что напряжение между проводниками линии - , ток - . Среднее значение энергии, запасаемой в 1 м этой линии передачи магнитным полем, может быть рассчитано по (1.46)

,

в то же время из теории цепей известен результат , связывающий энергию с током, текущим в цепи. Таким образом, собственная удельная индуктивность (индуктивность на единицу длины линии) линии передачи определяется соотношением

(Гн/м). (2.17)

Аналогично средняя энергия, запасаемая в электрическом поле, может быть найдена, по (1.44)

и из теории цепей . Откуда следует выражение для удельной собственной емкости линии передачи

(Ф/м). (2.18)

Согласно (1.149) мощность, рассеиваемая единицей длины проводника вследствие конечной проводимости у металлических проводников линии, выражается как

,

(предполагается, что H лежит в плоскости S), при этом из теории цепей имеем , откуда получим последовательное удельное сопротивление линии передачи

(Ом/м). (2.19)

Напомним, что - поверхностное сопротивление линии передачи, а - контур интегрирования, берущийся по поверхностям проводников. Мощность потерь в диэлектрике между проводниками, определяется по (1.53)

,

где мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости , а из теории цепей , откуда найдем выражение для проводимости G

(См/м). (2.20)

Вывод телеграфных уравнений из уравнений Максвелла для коаксиальной линии

Покажем теперь, что телеграфные уравнения (2.3), полученные на основе теории цепей, могут быть выведены из уравнений Максвелла. Для этого рассмотрим распространение колебаний в коаксиальной линии передачи, показанной на рис. 2.3. Хотя мы будем рассматривать распространение TEM-волн внутри линий передачи более подробно в следующей части, в данном же параграфе мы обратим большее внимание на сравнение результатов, полученных из теории цепей и теории электромагнитного поля.

ф

Рис.2.3. Поперечное сечение коаксиальной линии

TEM-волна в коаксиальной линии (рис.2.3) характеризуется отсутствием компонент поля вдоль оси z, т.е. , кроме того, вследствие осевой симметрии лини, отсутствует зависимость поля от угла , т.е. . Поля внутри коаксиальной лини связаны уравнениями Максвелла

, (2.21а)

, (2.21б)

где может быть комплексной величиной для учета потерь в диэлектрике, заполняющем линию. При этом потерями в проводниках мы пренебрегаем¹.

Раскроем выражения (2.21) в цилиндрических координатах

, (2.22а)

, (2.22б)

Поскольку компоненты поля должны быть равны нулю, то и должны иметь следующий вид

, (2.23а)

. (2.23б)

Компонента электрического поля должна удовлетворять граничным условиям при , что выполняется только при условии в соответствии с (2.23а). При этом в соответствии с (2.22а) - , и уравнения (2.22) могут быть сведены к виду

, (2.24а)

, (2.24б)

Учитывая вид из (2.23а) и уравнение (2.24а), получим форму выражения для

. (2.25)

Подставив (2.23б) и (2.25) в (2.24), получим

, (2.26а)

, (2.26б)

Определим значение напряжения между проводниками линии и тока, текущего по внутреннему проводнику при :

, (2.27а)

. (2.27б)

Заменяя в (2.26) функции и выражениями для токов и напряжений из (2.27), получим

, (2.28а)

. (2.28б)

Сравнение полученных выражений с уравнениями (2.3), учитывая отсутствие потерь в проводнике, дает следующие результаты для параметров линии

, (2.29а)

, (2.29б)

. (2.29в)

В результате, применяя (2.29), запишем телеграфные уравнения для коаксиальной линии

, (2.30а)

. (2.30б)

Аналогичные результаты могут быть получены для других типов линий передачи.