Биномиальный многосекционный трансформатор

Полоса согласования биномиального трансформатора является оптимальной в смысле минимального отклонения величины коэффициента отражения от значения на центральной частоте внутри этой полосы. В связи с этим характеристика указанного трансформатора называется максимально плоской. Подобная максимально плоская характеристика обеспечивается обращением в ноль первых N – 1 производных на центральной частоте . Этим свойством обладает функция следующего вида

, (2.106)

для которой

. (2.107)

Здесь и для и ( соответствует центральной частоте , для которой и ).

Определим константу A посредством предела . Тогда и (2.106) преобразуется к виду

,

при этом, поскольку , то все секции имеют нулевую электрическую длину. Таким образом, постоянная A может быть записана как

. (2.108)

С другой стороны в соответствии с формулой разложения бинома из (2.106) получим

, (2.109)

здесь , (2.110)

коэффициенты разложения бинома. Напомним, что , и .

Приравняем требуемую характеристику коэффициента отражения из (2.109) и действительную характеристику отражения, приближенно описываемую выражением (2.103):

.

Откуда следует, что значение необходимо выбрать следующим образом

, (2.111)

где A задается посредством (2.108), а - биномиальный коэффициент.

Характеристические сопротивления секций могут быть найдены из (2.102), однако, в силу малости частных коэффициентов отражения справедлива следующая аппроксимация:

,

т.к. для малых x - . В результате с учетом (2.111) и (2.108) получим выражение

, (2.112)

по которому могут быть найдены все , начиная с n = 0. При этом данный подход позволяет легко провести проверку результатов расчета – величина должна получиться равной .

Полоса согласования биномиального трансформатора может быть определена аналогично односекционному четвертьволновому трансформатору, посредством выбора заданного уровня коэффициента отражения . Тогда из (2.107) получим

,

где нижняя граница полосы согласования трансформатора (рис.2.24). Следовательно,

, (2.113)

и, применяя (2.92), найдем относительную полосу согласования

. (2.114)

Сравнение формул (2.92) и (2.114) показывает, что относительная полоса согласования у биномиального трансформатора шире чем у односекционного в силу того, что значение аргумента у функции arccos в (2.114) растет значительно медленнее при увеличении разности между сопротивлением нагрузки и характеристическим сопротивлением входной линии передачи. Графики зависимости модуля коэффициента отражения от частоты для различного числа секций, согласующих нагрузку и линию с сопротивлением , представлены на рис. 2.28.

Рис.2.28. Зависимость модуля коэффициента отражения от частоты для биномиальных трансформаторов при разном количестве секций N

Многосекционный трансформатор Чебышева

В отличии от биномиального согласующего трансформатора, трансформатор Чебышева осуществляет согласование при наличии колебаний модуля коэффициента отражения в полосе согласования. Однако, для любого заданного максимального значения коэффициента отражения в полосе трансформатор Чебышева имеет более широкую полосу согласования, по сравнению с биномиальным при заданном количестве секций. Трансформатор Чебышева строится посредством представления функции коэффициента отражения полиномами Чебышева. Рассмотрим вначале свойства полиномов Чебышева.

Полином Чебышева первого рода n - го порядка обозначается . Приведем первые четыре полинома Чебышева

, (2.115а)

, (2.115б)

, (2.115в)

. (2.115г)

При этом полиномы более высоких порядков могут быть представлены рекуррентной формулой

. (2.116)

На рис.2.29 приведены первые четыре полинома Чебышева. Данный рисунок позволяет определить некоторые очень полезные свойства полиномов Чебышева:

- для , ; в этом диапазоне полиномы Чебышева колеблются между ; данный диапазон можно выбрать в качестве полосы согласования;

- для , ; в данном диапазоне получим значения коэффициента отражения вне полосы согласования;

- для , растет с увеличением x тем быстрее, чем больше n.

Рис.2.29. Первые четыре полинома Чебышева

Пусть при , тогда полиномы могут быть представлены в виде

,

или в более общем виде

, при , (2.117а)

, при . (2.117б)

При проектировании трансформатора желательно, чтобы колебания коэффициента отражения внутри полосы согласования были одинаковыми, для этого необходимо сопоставить значению величину , а - (см. рис.2.24). Последнее условие выполняется путем замены в (2.117) на :

. (2.118)

Так как при , то для данного диапазона значений .

Применяя формулы понижения степени, приводящие к виду , запишем полиномы Чебышева в форме удобной для проектирования согласующего трансформатора:

, (2.119а)

, (2.119б)

,(2.119в)

. (2.119г)

Далее обратимся вновь к разложению коэффициента отражения в ряд по частным коэффициентам (2.105), и помня о том, что мы проектируем трансформатор с Чебышевской характеристикой, составим следующее равенство

, (2.120)

здесь последний член в разложении равен для четного N и для нечетного. Как и в случае биномиального трансформатора мы можем найти константу A посредством устремления . Поскольку

,

то имеем . (2.121)

При этом в связи с тем, что максимальное значение модуля коэффициента отражения в полосе согласования равно , то из (2.120) имеем равенство , так как величина в полосе согласования не превышает единицы. Тогда из (2.121) можем записать

,

и, применяя (2.117б), получим

. (2.122)

Определив с помощью (2.122) величину , можно найти относительную полосу согласования трансформатора по формуле (2.92)

. (2.123)

Частные коэффициенты отражения секций могут быть найдены по (2.120) путем раскрытия полинома Чебышева соответствующего порядка и приравнивания коэффициентов при членах вида . По можно с помощью формул (2.102) определить значения характеристических сопротивлений секций. Однако, подход, примененный нами при расчете сопротивлений биномиального трансформатора, позволяет упростить количество вычислений и осуществить самопроверку результата и в случае трансформатора Чебышева. Согласно указанному подходу

.

Графики зависимости модуля коэффициента отражения от частоты для различного числа секций Чебышевского трансформатора, согласующих нагрузку и линию с сопротивлением , представлены на рис. 2.30.

Рис.2.30. Зависимость модуля коэффициента отражения от частоты для трансформаторов Чебышева при разном количестве секций N