Высшие типы колебаний

Рассмотрим условия существования высших типов волн в коаксиальной линии. В общем случае поле в коаксиальной линии должно удовлетворять волновым уравнениям Гельмгольца (5.2) при условии, что поперечное волновое число .

Строгое решение уравнений Гельмгольца для коаксиальной линии позволяет выявить волноводные волны типа и . Индексы и определяют число вариаций поля по азимуту и радиусу соответственно. Каждому типу волны отвечает своя критическая длина волны.

Наибольшей критической длиной волны в коаксиальной линии обладает волна , для нее . Структура поля для волны показана на рис.3.17 Для определения полосы одноволнового режима работы (рис.3.18) следует рассмотреть картину распределения критических частот для коаксиальной линии. Из диаграммы видно, что одноволновый режим работы коаксиальной линии (волна TEM) существует при условии , .

Коаксиальная линии обычно используют в диапазоне длин волн от 10м до 3 - 5 см, хотя в принципе они могут работать и на сколь угодно низких частотах.

§3.7. Поверхностные волны в металлизированной с одной стороны диэлектрической подложке

В первой части книги мы обсуждали понятие поверхностных волн применительно к явлению полного отражения от границы раздела диэлектриков. В общем случае поверхностные волны могут существовать на границах разделов любой конфигурации, включая и границу между диэлектриками. В данном параграфе рассмотрим поверхностные волны E - и H - типов, возникающие вдоль заземленной диэлектрической пластины, используемой в качестве подложки.

Поверхностные волны характеризуются экспоненциальным затуханием при удалении от поверхности диэлектрика. На высоких частотах поле сосредотачивается в очень небольшом по толщине слое диэлектрика, что позволяет создавать практически применимые диэлектрические волноводы. Поскольку колебания распространяются внутри диэлектрика, то фазовая скорость поверхностных волн ниже, чем скорость света в вакууме. Кроме того, поверхностные волны могут возбуждаться в некоторых типах планарных линий передачи: микрополосковой и щелевой.

E-волны

Продольный разрез заземленной диэлектрической пластины показан на рис.3.19.

Рис.3.19. Продольное сечение металлизированного диэлектрика

Предположим, что диэлектрическая пластина толщиной d с относительной диэлектрической проницаемостью имеет бесконечные размеры вдоль осей y и z. Также предположим распространение волн в направлении +z по закону и отсутствие изменений поля вдоль оси y .

Поскольку в нашей задаче имеется две различных области – должны рассмотреть поведение полей отдельно для каждой области (в воздухе и в диэлектрике), а затем применить граничные условия для касательных составляющих электрического поля на границе раздела сред. должно удовлетворять волновым уравнениям (3.3) в каждой области:

, для , (3.111а)

, для . (3.111б)

Определим теперь критические волновые числа для обеих областей

, (3.112а)

, (3.112б)

здесь знак при был выбран с учетом экспоненциального затухания поля в области . Кроме того, постоянная одна и та же для обеих областей, вследствие условия согласования касательных составляющих полей на границе раздела при для всех значений z.

Общие решения для (3.111) имеют вид

, при , (3.113а)

, при . (3.113б)

Заметим, что эти решения справедливы при любых и h действительных или мнимых. В нашем случае эти величины действительные вследствие выбранных в (3.111) знаков.

Запишем теперь систему граничных условий для

, при , (3.114а)

, при , (3.114б)

- непрерывно, при , (3.114в)

- непрерывно, при . (3.114г)

При этом для Е-волн . Из условия (3.114а) следует, что в (3.113а) . Условие (3.114б) означает конечность значений энергии, содержащейся в поле, на бесконечном удалении от источника, откуда следует - . Из непрерывности следует равенство

, (3.115а)

а, применяя уравнение для из (3.7), найдем

. (3.115б)

Поскольку система граничных условий однородна, то необходимо, чтобы определитель системы был тождественно равен нулю, для наличия нетривиального решения (3.115), откуда

. (3.116)

Далее выражая  из (3.112а) и (3.112б) и приравнивая результаты в правых частях, получим

. (3.117)

Выражения (3.116) и (3.117) образуют трансцендентную систему, которую необходимо решать для волновых чисел и h, при заданных и . Данные уравнения могут быть решены численными методами с помощью персонального компьютера. Однако, для наглядности проведем графическое решение задачи, показанное на рис.3.20. Умножая обе части (3.117) на

,

получим уравнение окружности (рис.3.20), радиус которой пропорционален электрической толщине диэлектрической пластины. Умножение (3.116) на d приводит к выражению

,

также показанному на рис.3.20. Пересечение этих двух кривых дает решение трансцендентной системы (3.116) и (3.117). Заметим, что может быть как положительным, так и отрицательным числом – это влияет только на знак постоянной A в уравнении (3.113). Если радиус окружности будет увеличиваться, то она будет пересекать все большее количество ветвей функции тангенса, что приводит к возникновению все большего числа мод волн E - типа. При этом отрицательные значения h необходимо отбросить в силу условия (3.114б).

Таким образом, для диэлектрической подложки любой отличной от нуля толщины и относительной диэлектрической проницаемостью отличной от единицы существует, по крайней мере, один тип колебаний E - типа, который мы назовем , имеющий нулевую частоту отсечки. При этом очевидно, что следующая мода возникнет только, когда радиус окружности рис.3.20 станет больше чем . Критическая частота колебаний может быть определена по формуле

, (3.118)

Когда и h определены, можно записать уравнения для полей

(3.119а)

(3.119б)

(3.119в)

H-волны

H-волны также могут распространяться в диэлектрической пластине. Они удовлетворяют следующим уравнениям

, для , (3.120а)

, для . (3.120б)

Общие решения (3.120) совпадают с (3.113), отличия имеются в граничных условиях: при x = 0, следовательно, , и аналогичными рассуждениями приходим к граничным условиям

, (3.121а)

, (3.121б)

и уравнениям для волновых чисел

, (3.122)

. (3.123)

Построения для решения уравнений (3.122) и (3.123) приведены на рис.3.21.

Поскольку отрицательные значения h должны быть исключены, то колебания на начнутся до тех пор, пока радиус окружности не станет больше . Откуда следует выражение для критической частоты - волн

, (3.124)

Сравнение (3.124) с (3.118) показывает следующий порядок следования мод в диэлектрической пластине: , , , и т.д.

Когда и h определены, можно записать уравнения для полей

(3.125а)

(3.125б)

(3.125в)