Общий случай границы раздела сред.

Рассмотрим границу раздела двух сред, на которой для удобства записи граничных условий векторы поля представим нормальными и касательными компонентами к поверхности раздела сред, как показано на рис.1.3. Поскольку на границе раздела параметры сред  и  испытывают скачек, то для описания поведения поля необходимо использовать уравнения Максвелла в интегральной форме.

Рис.1.3. Электромагнитные поля, токи и поверхностные заряды на границе раздела двух сред.

Рис.1.4. К выводу граничных условий для нормальных составляющих векторов поля

Выделим вблизи границы раздела малый цилиндрический объем , как показано на рис. 1.4, и запишем уравнение для потока электрической индукции через поверхность цилиндра:

, (1.30)

здесь - нормаль к поверхности раздела, S - поверхность цилиндра (рис. 1.4). Устремим , тогда поток касательной составляющей вектора электрической индукции через боковую поверхность будет равен нулю, а интеграл (1.29) сведется к следующему равенству

,

или , (1.31)

где поверхностная плотность заряда на границе раздела сред. В векторной форме уравнение (1.30) предстает как

. (1.32)

Похожие рассуждения позволяют получить выражение для вектора магнитной индукции:

, (1.33)

здесь учтено, что магнитные заряды отсутствуют.

Рис.1.5. К выводу граничных условий для касательных составляющих векторов поля

Соотношения для касательных составляющих электрического поля могут быть получены из уравнения (1.6). Для этого выделим вблизи поверхности раздела сред элементарный контур С, как показано на рис.1.5, и запишем уравнение (1.6) с применением комплексных амплитуд:

. (1.34)

Учитывая то, что при площадь также стремится к нулю и конечность величины магнитной индукции на поверхности S, получим

. (1.35)

При этом если на поверхности раздела сред существует магнитный ток с поверхностной плотностью

, (1.36)

то второй интеграл в правой части равенства (1.34) будет отличен от нуля, и можно записать

,

откуда , (1.37)

или в векторном виде

. (1.38)

При помощи аналогичных рассуждений можно получить соотношения для касательных составляющих магнитного поля:

, (1.39)

здесь - поверхностная плотность тока проводимости, которая может существовать на границе раздела сред.

Уравнения (1.32), (1.33), (1.38) и (1.39) граничные условия наиболее общего вида.

Граница раздела диэлектриков.

На границе раздела двух диэлектриков без потерь отсутствуют поверхностные токи и заряды, поэтому граничные условия (1.32), (1.33), (1.38) и (1.39) упрощаются

, (1.40а)

, (1.40б)

, (1.40в)

, (1.40г)

то есть нормальные составляющие векторов электрической и магнитной индукции и касательные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного поля остаются непрерывными на границе раздела диэлектриков.

Поле на поверхности идеального электрического проводника («электрическая стенка»).

Часто при проведении оценочных расчетов полей проводники из реальных металлов можно заменить идеальным проводником (), поле внутри которого равно нулю. Такая оценка допустима поскольку у проводников с конечной проводимостью () СВЧ поле сосредоточено в небольшом приповерхностном слое и экспоненциально убывает внутри проводника (данный эффект называется скин-эффектом и будет рассмотрен в параграфе 1.8), а толщина этого слоя убывает с ростом величины проводимости среды. Если же при этом идеальный проводник заполняет половину пространства относительно границы раздела сред, то есть выполняется условие , то уравнения (1.32), (1.33), (1.38) и (1.39) приобретут вид

, (1.41а)

, (1.41б)

, (1.41в)

. (1.41г)

Указанные граничные условия называются «электрической стенкой», поскольку касательная составляющая электрического поля оказывается «закороченной» и обращается в ноль на поверхности материала.