§3.4. Круглый волновод

Полая металлическая труба круглого поперечного сечения также способна передавать волноводные волны E или H - типа. На рис.3.12 показано поперечное сечение круглого волновода с внутренним радиусом a.

Рис.3.12. Поперечное сечение круглого волновода

Поскольку мы имеем дело с цилиндрической геометрией, то решать уравнение (3.3) удобнее в цилиндрических координатах. При этом аналогично уравнениям (3.7) поперечные компоненты полей E или H - типа могут быть найдены через продольные:

, (3.74а)

, (3.74б)

, (3.74в)

, (3.74г)

где , и предполагается существование только прямой волны . В случае обратной волны необходимо заменить  на - .

Н-волны

Для волн H - типа и уравнение (3.3) в цилиндрических координатах принимает вид

. (3.75)

Функция формы, являющаяся решением уравнения (3.75) имеет вид:

. (3.76)

Здесь и , функции Бесселя первого и второго рода. Поскольку решение уравнения должно быть периодично по , т.е. , то , должно быть целым числом, n. Кроме этого, функция обращается в бесконечность при , что физически невозможно, следовательно, . Таким образом, решение уравнения для имеет вид

, (3.76)

в котором мы внесли постоянную C в постоянные A и B. Определим теперь значение критического волнового числа посредством применения граничного условия на стенках волновода. Поскольку , то

, при . (3.77)

По (3.74б) найдем

, (3.78)

здесь означает взятие производной по . В результате для выполнения условия при , необходимо

. (3.79)

Если определить решения уравнения как , то , можно найти в виде

. (3.80)

Значения приведены в математических таблицах, первые несколько значений приведем в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Значения для - волн в круглом волноводе

n
0	3.832	7.016	10.174
1	1.841	5.331	8.536
2	3.054	6.706	9.970

Таким образом, волны, определяемые критическим волновым числом , в котором n соответсвует вариациям по углу , а m - вариациям по радиусу . Фазовая постоянная в этом случае определяется соотношением

, (3.81)

а частота отсечки

. (3.82)

Режиму с наименьшей критической частотой соответствует режим с минимальным значением . Из таблицы 3.1 находим, что таким режимом будет , являющийся основным (рабочим) режимом работы круголого волновода. Поскольку , то отсутствует режим , но присутсвуют колебания .

Поперечные компоненты найдем по (3.74):

, (3.83а)

, (3.83б)

, (3.83в)

. (3.83г)

В полученных нами решениях присутствуют две независимые постоянные A и B. В силу симметрии круглого волновода по азимуту , оба решения и допустимы и могут присутствовать при любых углах. На практике, однако, значения амплитуд слагаемых и зависят от способа возбуждения волновода и могут быть обращены поочередно в ноль.

Рассмотрим теперь основное колебание , возбуждаемое таким образом, что . Компоненты поля в этом случае имеют вид:

, (3.84а)

, (3.84б)

, (3.84в)

, (3.84г)

. (3.84д)

. (3.84е)

Мощность, передаваемая по волноводу, может быть определена как

, (3.85)

здесь использован табличный интеграл

.

Значение мощности отлично от нуля только в случае, когда  - действительная величина.

Затухание в диэлектрике, заполняющем волновод может быть найдено по (3.22а). Затухание вследствие потерь в проводнике определим, применяя метод возмущений:

(3.86)

Применяя (3.85) и (3.86), получим выражение для постоянной затухания

. (3.87)

Е-волны

В случае E-волн решение для будет полностью аналогичным (3.76)

. (3.88)

Разница между E и H-типами определяется граничными условиями: в данном случае граничные условия применяются непосредственно к , т.е.

, при . (3.89)

Следовательно, имеет место уравнение

, (3.90)

или , (3.91)

где - m-й ноль функции . Значения приведены в математических таблицах, первые несколько значений приведем в таблице 3.2.

Таблица 3.2. Значения для - волн в круглом волноводе

n
0	2.405	5.520	8.654
1	3.832	7.016	10.174
2	5.135	8.417	11.620

Фазовая постоянная в этом случае определяется соотношением

, (3.92)

а частота отсечки

. (3.93)

Режиму с наименьшей критической частотой соответствует режим с минимальным значением . Из таблицы 3.2 находим, что таким режимом будет , однако, поскольку больше чем , то данный режим не является основным для круглого волновода. Поскольку , то отсутствует режим .

Поперечные компоненты найдем по (3.74):

, (3.94а)

, (3.94б)

, (3.94в)

. (3.94г)

Структуры полей некоторых режимов работы представлены на рис.3.13.

Рис.3.13. Структура полей в круглом волноводе