- •К.С.Лялин, д.В.Приходько Электродинамика свч
- •Введение
- •Часть I. Теория электромагнитного поля.
- •§1.1. Уравнения Максвелла, как метод описания электромагнитного поля в однородных средах.
- •§1.2. Электромагнитные поля в различных средах и граничные условия электродинамики.
- •Общий случай границы раздела сред.
- •Граница раздела диэлектриков.
- •Поле на поверхности идеального электрического проводника («электрическая стенка»).
- •Поле на поверхности идеального магнитного проводника («магнитная стенка»).
- •Поле на бесконечности («условие излучения»).
- •§1.3. Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойнтинга.
- •§1.4. Излучение электромагнитных волн. Волновые уравнения. Электродинамические потенциалы и векторы Герца.
- •§1.5. Понятие о зонах излучения и диаграмме направленности источника электромагнитных волн
- •Понятие о диаграммах направленности
- •Поляризационные характеристики поля
- •§1.6. Элементарные излучатели Электрический вибратор
- •Магнитный вибратор
- •Элемент Гюйгенса
- •§1.7. Электромагнитные волны: плоские, сферические, цилиндрические – решения волнового уравнения
- •Плоские волны
- •Сферическая волна
- •Цилиндрическая волна
- •Особенности распространения волн в различных средах
- •§1.8. Отражение плоской волны от границы раздела сред. Нормальное падение
- •Общие соотношения
- •Среды без потерь
- •Проводник с конечной проводимостью.
- •Идеальный проводник.
- •Понятие о поверхностном сопротивлении. Скин-эффект.
- •§1.9. Отражение плоской волны от границы раздела диэлектриков при произвольном угле падения
- •Параллельная поляризация
- •Перпендикулярная поляризация
- •Полное отражение и поверхностные волны.
- •§ 1.10. Важные теоремы
- •Принцип взаимности
- •Метод зеркальных отображений
- •Часть II. Теория линий передачи
- •§ 2.1. Применение теории цепей для анализа линий передачи
- •Волны напряжений и токов в линии передач
- •Линия передачи без потерь
- •§2.2. Применение теории электромагнитного поля для анализа линий передачи
- •Параметры линии передачи
- •Вывод телеграфных уравнений из уравнений Максвелла для коаксиальной линии
- •§2.3. Обобщенная линия передачи без потерь. Трансформация полного сопротивления и коэффициента отражения вдоль линии передачи
- •Короткое замыкание на конце линии
- •Холостой ход на конце линии
- •Полуволновый повторитель и четвертьволновый трансформатор
- •Соединение линий передачи с различными характеристическими сопротивлениями
- •§ 2.4. Диаграмма Смита
- •Диаграмма полных проводимостей.
- •Методика измерения полного сопротивления
- •§2.5 Понятие о согласовании сопротивлений
- •§2.6. Согласование посредством сосредоточенных параметров
- •Согласующие цепи на реактивных элементах
- •§2.7. Четвертьволновый трансформатор сопротивлений
- •§2.7. Многосекционные трансформаторы
- •Биномиальный многосекционный трансформатор
- •Многосекционный трансформатор Чебышева
- •§2.8. Шлейфные трансформаторы сопротивлений
- •Одношлейфовый трансформатор
- •Двухшлейфовый трансформатор
- •§2.9. Обобщенная линия передачи с потерями
- •Линия с низкими потерями
- •Линия передачи сигналов без искажений
- •Параметры нагруженной линии с потерями
- •Применение метода возмущений для определения постоянной затухания
- •Часть III. Электромагнитные волны в направляющих системах
- •§3.1. Классификация линий передачи и их основные характеристики
- •§3.2. Общая теория регулярных линий передачи произвольного поперечного сечения. Поперечные и волноводные волны.
- •Поперечные (tem) электромагнитные волны
- •Волноводные волны h- и e-типов
- •Влияние затухания в диэлектрике
- •§3.3. Двухпластинчатый волновод
- •Поперечные tem-волны
- •§3.3. Прямоугольный волновод
- •§3.4. Круглый волновод
- •§3.5. Двухпроводная линия передачи
- •§3.6. Коаксиальная линия передачи
- •Поперечные tem-волны
- •Высшие типы колебаний
- •§3.7. Поверхностные волны в металлизированной с одной стороны диэлектрической подложке
- •§3.8. Полосковые и микрополосковые линии передачи
Поперечные tem-волны
Поскольку у TEM-волны . В этом случае , и потенциал U(x,y) удовлетворяет уравнению Лапласа:
, для и . (3.23)
Поскольку начало отсчета потенциала может быть выбрано произвольно, предположим, что потенциал нижней пластины равен нулю (земля), а потенциал верхней пластины - , т.е. имеем
, (3.24а)
, (3.24б)
Так как поле вдоль оси x не меняется, то общее решение для (3.23) будет выглядеть следующим образом
, (3.25)
учитывая граничные условия (3.24), получим окончательно
. (3.26)
Таким образом, получим выражение для поперечной составляющей вектора E
, (3.27)
из которого следует уравнение для полного поля
, (3.28)
здесь - волновое число. В соответствии с уравнением (3.13) определим значение магнитного поля
. (3.29)
Заметим, что структура поля TEM-волн аналогична структуре поля плоской волны в бесконечной среде с параметрами и .
Определим напряжение верхней пластины относительно нижней:
, (3.30)
как и ожидалось. Полный ток на верхней пластине может быть найден как из закона Ампера, так и с использованием выражения для поверхностной плотности тока:
. (3.31)
Используя выражения (3.30) и (3.31), определим характеристическое сопротивление TEM-волн
, (3.32)
которое является постоянной величиной и определяется геометрией линии передачи. Фазовая скорость, также является константой:
(3.33)
и равна скорости света в среде между пластинами.
Потери в диэлектрике могут быть определены по формуле (3.22б). Выражение для потерь же в проводниках определим в следующем пункте при рассмотрении E-волн.
Е-волны
Как было показано в параграфе 3.1 у E-волн , а , которая удовлетворяет уравнению (3.3), с учетом того, что получим
, (3.34)
здесь критическое волновое число. Общим решением уравнения (3.34) является выражение
. (3.35)
Для определения входящих в состав уравнения констант применим граничные условия
, при , (3.36)
откуда следует, что , а , для , или
, (3.37)
Таким образом, фазовая постоянная имеет следующий вид
, (3.38)
и мы имеем полное решение для
. (3.39)
Поперечные компоненты найдем, используя выражения (3.7)
, (3.40а)
, (3.40б)
. (3.40в)
Заметим, что для , , , а и постоянны вдоль оси y, т.е. волна типа является поперечной. Для каждого существует своя структура полей, обозначаемая и имеющая собственную постоянную распространения, задаваемую уравнением (3.38).
При этом согласно (3.16) критическая частота определяется как
. (3.41)
Самая низкая частота E-волн соответствует полю -, критическая частота поля вдвое больше и так далее.
Рассчитаем величину вектора Пойнтинга для определения направления передачи мощности. Согласно выражению (1.52) средняя за период мощность, проходящая через единичную площадку поперечного сечения двухпластинчатого волновода равна
(3.42)
Откуда следует, что положительна и отлична от нуля, когда является действительной величиной, что выполняется при . В случае - -чисто мнимая величина и .
Затухание, вызываемое потерями в диэлектрике, может быть определено по формуле (3.22а). Потери в проводниках определим, используя метод возмущений:
, (3.43)
где поток мощности, текущий через волновод в отсутствие потерь, согласно (3.42), а - потери мощности на единицу длины в двух проводниках с потерями, которые могут быть найдены по (1.149)
, (3.44)
здесь - поверхностное сопротивление проводников. Используя (3.42 – 3.44), получим выражение для потерь в проводниках
, для . (3.45)
Поскольку, как мы показали, TEM-волны эквивалентны волнам , то и для них справедливо полученное соотношение. Таким образом, для случая , получим из (3.43)
. (3.46)
Н-волны
В случае H-волн решение уравнения (3.34) имеет вид
. (3.47)
Граничные условия в данном случае: при . Откуда из (3.7) мы имеем
, (3.48)
постоянную и поперечное волновое число
, (3.49)
Окончательно для всех компонент поля получим
. (3.50)
, (3.51а)
, (3.51б)
. (3.51в)
Фазовые постоянные и критические частоты для H- и E-волн совпадают.
Мощность, переносимая по волноводу волной , может быть определена следующим образом
, для n > 0. (3.52)
Заметим, что при n = 0 - , поэтому , и отсутствует режим .
Легко показать (по аналоги с E-волнами), что затухание в проводниках определяется постоянной затухания
. (3.53)
Структура полей TEM, и в двухпластинчатом волноводе представлены на рис.3.5.
Рис.3.5. Структура полей TEM (а), (б) и (в) в двухпластинчатом волноводе