§1.2. Электромагнитные поля в различных средах и граничные условия электродинамики.

Уравнения Максвелла, приведенные в предыдущем параграфе, были записаны для вакуума. Однако на практике мы имеем дело с различными веществами и границами раздела тел, состоящих из разных веществ. С одной стороны, наличие среды усложняет уравнения электромагнитного поля, но с другой стороны позволяет использовать свойства этого вещества для создания устройств СВЧ с требуемыми качествами. При этом в веществе составляющие поля связаны между собой материальными уравнениями.

Например, в диэлектриках внешнее электрическое поле порождает поляризацию атомов и молекул вещества, дипольные моменты которых дополнительно изменяют индукцию электрического поля . Поляризационная составляющая вектора электрической индукции называется вектором поляризованности или просто поляризованностью вещества и обозначается . при этом материальное уравнение (1.2б) приобретет следующий вид:

. (1.15)

Если рассматриваемая среда является линейной¹, то поляризованность связана с напряженностью электрического поля линейным соотношением

, (1.16)

здесь - электрическая восприимчивость среды, в общем случае может быть комплексной величиной. Тогда уравнение (1.15) может быть записано как

, (1.17)

где (1.18)

есть комплексная диэлектрическая проницаемость среды. Мнимая часть  определяет потери на нагрев среды, связанные с трением колеблющихся дипольных моментов (в вакууме, у которого  действительная величина, потерь нет). Потери в диэлектрике могут быть представлены также в виде эквивалентных потерь проводимости, связанных с наличием отличной от нуля проводимости вещества . При этом в диэлектрике существует ток проводимости:

. (1.19)

Формула (1.19) выражает закон Ома с точки зрения теории электромагнитного поля. При этом второе уравнение Максвелла (1.14б) может быть записано в виде:

. (1.20)

Из уравнения (1.20) видно, что потери на переполяризацию неотделимы от потерь связанных с током проводимости. Таким образом, выражение может рассматриваться как общая эффективная проводимость среды. На практике для характеристики СВЧ диэлектриков вводят понятие, связанное с эффективной проводимостью, называемое тангенсом диэлектрических потерь:

, (1.21)

который характеризует соотношение действительной и мнимой частей полного тока смещения. СВЧ материалы обычно описываются абсолютной диэлектрической проницаемостью, являющейся действительной частью комплексной диэлектрической проницаемости, ( - относительная диэлектрическая проницаемость) и тангенсом потерь в заданном частотном диапазоне. Здесь стоит заметить, что если задача расчета поля решена для случая среды без потерь, то учесть потери можно, просто заменив действительную диэлектрическую постоянную на комплексную - .

В предшествовавших рассуждениях мы предполагали, что совпадает по направлению с вектором электрического поля . Материалы для которых выполняется данное условие называются изотропными, однако данное условие выполняется не для всех материалов. В некоторых линейных средах, называемых анизотропными, связь между векторами поляризованности и напряженности электрического поля или между напряженностью и индукцией электрического поля носит более сложный характер и определяется в общем случае тензором второго ранга:

. (1.22)

То есть каждая из компонент напряженности электрического поля влияет на все компоненты вектора электрической индукции. Примерами анизотропных веществ являются некоторые кристаллы и ионизированные газы. Для изотропных материалов матрица станет диагональной со значениями  на главной диагонали.

Похожая ситуация возникает и для магнетиков: внешнее магнитное поле может повернуть магнитные дипольные моменты вещества в определенном направлении, т.е. произойдет магнитная поляризация вещества или намагничивание, определяемое вектором . При этом связь между напряженностью и индукцией магнитного поля запишется следующим образом

, (1.23)

В случае линейных магнитных материалов и связаны линейной зависимостью:

, (1.24)

где - комплексная магнитная восприимчивость вещества. С учетом (1.23) и (1.24) можно получить выражение для линейных магнитных сред:

, (1.25)

в котором есть комплексная магнитная проницаемость среды, при этом мнимая часть или описывает только потери трения, возникающие при перемагничивании вещества, поскольку магнитных токов и зарядов в природе нет, то и потерь, связанных с магнитной проводимостью нет.

Как и в случае с электрическим полем магнитные материалы также могут быть анизотропными и описываются тензором магнитной проницаемости вещества:

. (1.26)

Одним из важнейших классов магнитных материалов, применяемых в СВЧ диапазоне частот, являются ферриты, на основе которых строятся многие СВЧ устройства, такие как фазовращатели, циркуляторы, поляризаторы и т.д.

Таким образом, в линейных средах система уравнений Максвелла для комплексных амплитуд принимает окончательный вид:

, (1.27а)

, (1.27б)

, (1.27в)

. (1.27г)

Материальные уравнения же согласно (1.17) и (1.25) записываются как

, (1.28а)

, (1.28б)

при этом  и , входящие в уравнения, могут быть как комплексными, так и тензорными величинами.

Заметим, что уравнения (1.27а и б) подчиняются принципу перестановочной двойственности, впервые сформулированному советским ученым А.А. Пистолькорсом в 1944г, и заключающимся в том, что замена в уравнении (1.27а)

, , (1.29)

переводит его в уравнение (1.27б) и наоборот, а в целом система останется неизменной.

В общем случае уравнения Максвелла в дифференциальной форме (1.27а) – (1.27г) для свободных колебаний решаются в два этапа: на первом находятся решения в заданной области среды с неизвестными коэффициентами, а на втором определяются эти коэффициенты посредством наложения граничных условий электродинамики. Рассмотрим некоторые специальные виды граничных условий.