4.3. Теорема Вариньона

Непосредственно из равенства вытекает важная зависимость между моментом равнодействующей и моментами составляющих сил, известная в механике как теорема Вариньона. Перепишем предыдущее равенство в таком виде:

Из рис. 4.6 следует, что – момент равнодействующей относительно любой точки, а по формуле , поэтому последнее равенство можно переписать в виде

,

т. е. момент равнодействующей ПСПРС относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов сил системы, взятых относительно той же точки.

4.4. Уравнения равновесия и их различные формы

Первая форма уравнений равновесия. Если плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы проекций всех сил на оси X и Y равны нулю, а также равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки:

Уравнений равновесия три, т. е. в произвольной плоской уравновешенной системе число неизвестных сил не должно превышать трех.

Вторая форма уравнений равновесия (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Вторая форма уравнений равновесия

Если произвольная плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы моментов сил относительно двух любых точек, а также алгебраическая сумма проекций сил на ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через эти точки, равны нулю:

Третья форма уравнений равновесия. Если произвольная плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы моментов сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой, равны нулю:

Частные случаи решения уравнений равновесия

1. К телу может быть приложена уравновешенная система параллельных сил (рис. 4.8). Тогда, рационально расположив оси координат (например, ось X – перпендикулярно силам, а ось Y – параллельно им), получим

Рис. 4.8. Уравновешенная система параллельных сил

Если плоская система параллельных сил уравновешена, то алгебраическая сумма проекций сил на ось, параллельную силам, и алгебраическая сумма моментов сил относительно любой точки равны нулю.

2. Расположив центры моментов A и В на прямой, перпендикулярной направлениям сил (рис. 4.9), получим

Рис. 4.9. Уравновешенная система параллельных сил

Если плоская система параллельных сил уравновешена, то равны нулю алгебраические суммы моментов сил относительно двух любых точек, лежащих на прямой, не параллельной линиям действия сил.

Для плоской системы параллельных сил можно составить два уравнения равновесия, т. е. для того, чтобы задача могла быть решенной, число неизвестных сил должно быть не больше двух. Вообще говоря, все задачи на равновесие системы сил, в которых число неизвестных не превосходит числа уравнений статики для этой системы, называются статически определимыми. Если же число неизвестных сил превышает число уравнений статики, которые возможно составить для данной системы, то задача называется статически неопределимой.

4.5. Балочные системы. Разновидности опор и виды нагрузок

Объектом решения многих задач статики служат так называемые балки или балочные системы (рис. 4.10). Балкой называется конструктивная деталь какого-либо сооружения, в большинстве случаев выполняемая в виде прямого бруса с опорами в двух (или более) точках.

По способу приложения силы условно делятся на сосредоточенные и распределенные.

а	б
в	г

Жесткая заделка

(М_А – момент, препятствующий повороту балки)

Рис. 4.10. Балочные системы

1. Сосредоточенные силы(рис. 4.11). Предполагается, что нагрузка сосредоточена в точке.

Рис. 4.11. Сосредоточенные силы

2. Равномерно распределенная нагрузка (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Равномерно распределенная нагрузка

Равномерно распределенная нагрузка задается двумя параметрами – интенсивностью q, т. е. числом единиц силы (Н или кН), приходящихся на единицу длины (м), и длиной l. В задачах статики, где рассматриваются абсолютно недеформируемые (твердые) балки, равномерно распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой .