20.2. Критическое напряжение. Пределы применимости формулы Эйлера

При осевом нагружении стержня в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения сжатия, которые возрастают по мере увеличения нагрузки. Нормальные на­пряжения, соответствующие критической си­ле, называются критическими:

После подстановки значения критической силы из формулы (20.1) получим

(20.2)

Линейную величину называют минимальным радиусом инерции сечения.

Таким образом, и формула (20.2) принимает вид

или

Безразмерная величина называется гибкостью стержня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости; с увеличением гибкости уменьшается сопротивляемость стержня потере устойчивости. Заметим, что гибкость λ стержня не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой и размерами сечения.

Определяя значение критической силы, Эйлер исходил из рас­смотрения упругой линии изогнутого стержня, поэтому формула

справедлива только в пределах применимости закона Гука, иначе говоря, до тех пор, пока критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня, т. е. при условии

Отсюда

Стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью:

Применимость формулы Эйлера определяется условием

Формула Эйлера применима только в тех случаях, когда гиб­кость стержня больше или равна предельной гибкости того мате­риала, из которого он изготовлен. Как правило, многие конструкции имеют стержни с гибкостью меньше предельной.

Раздел 4

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ ДЕТАЛЕЙ МАШИН

ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ И ДЕТАЛЕЙ ОТРАСЛИ

Глава 21. ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

21.1. Геометрический расчет

эвольвентных прямозубых передач

Рассмотрим сечение цилиндрического зубчатого колеса (рис. 21.1) с внеш­ними зубьями плоскостью, перпендикулярной к оси колеса (главное, или торцовое сечение). Выделяют окружность вершин зубьев () и окружность впадин (), между которыми заключен зуб колеса. Высота зуба .

Рис. 21.1. Сечение цилиндрического зубчатого колеса

Эвольвентный профиль и окружность впадин соединяются переходной кривой. Общая точка L эвольвенты и переходной кривой называется граничной точкой профиля.

Расстояние между одноименными профилями двух соседних зубь­ев, измеренное по дуге окружности, называется окружным шагом зубьев. Для окружности произвольного радиуса

где p_y – окружной шаг;

S_y – окружная толщина зуба;

e_y – окружная ширина впадины.

Длину окружности можно выразить через шаг p_y и число зубь­ев z:

откуда

где – окружной модуль.

Модуль и шаг зависят от окружности, к которой они относятся.

На колесе выделяется расчетная окружность, на которой шаг и модуль зубьев равны шагу и модулю зуборезного инструмента. Эта окружность называется делительной (r, d), а модуль зубьев на делительной окружности называется расчетным модулем зубчатого колеса:

где p – шаг по делительной окружности (делительный шаг). Значе­ния m регламентированы СТ СЭВ 310–76, ГОСТ 9563–80:

1-й ряд – 0,8; 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5 и т. д.;

2-й ряд – 0,9; 1,125; 1,375; 1,75; 2,25; 2,75 и т. д.

Диаметр делительной окружности

Центральный угол называется угловым шагом зубьев.

В основе зуборезного инструмента, используемого для нареза­ния эвольвентных цилиндрических колес по методу обкатки, лежит исходный производящий контур, под которым понимается контур зубьев зуборезной рейки в сечении плоскостью, перпендикулярной к направлению ее зубьев. Параметры этого контура стандартизованы (СТ СЭВ 308–76 для ), ГОСТ 13755–81 (рис. 21.2).

Рис. 21.2. Параметры исходного контура зубчатой рейки

Высота зуба исходного производящего контура

где – коэффициент высоты головки зуба;

– коэффициент радиального зазора.

Угол α = 20° называется углом главного профиля.

Прямая, по которой толщина зуба равна ширине впадины, назы­вается делительной. Зубчатые колеса бывают:

1) без смещения ис­ходного контура (некорригированные);

2) со смещением.

Если делительная прямая исходного производящего контура касается делительной окружности нарезаемого колеса, то нарезается колесо без смещения, в противном случае нарезается колесо со смещением (рис. 21.3).

Рис. 21.3. Колеса со смещением и без смещения

В зависимости от коэффициентов смещения зацепляющихся колес различают следующие типы передач:

1) передача без сме­щения (x₁ = x₂ = 0);

2) равносмещенная передача (x₁ = –x₂ ≠ 0, x_∑ = x₁ + x₂ = 0);

3) положительная передача (x_∑ > 0);

4) отрицательная передача (x_∑ < 0).

В передачах без смещения и равносмещенных¹ (угол зацепления равен углу главного профиля), (делительные окружности одновременно являются и началь­ными), высота зуба h = 2,25m. В передачах без смещения

Межосевые расстояния для стандартных редукторов нормированы:

= 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 180; 200; 225; 250; 280; 315 и т. д.

При нарезании зубьев без смещения можно изготовить колесо лишь с z_1min ≥ 17 (если x_∑ > 0, то z_1min = 12).

При окружных скоростях колес ,z₁ и z₂ принимают кратными друг другу; при , дляz₁ и z₂ принимают взаимно простые числа зубьев.

Расчет геометрических параметров цилиндрических зубчатых передач выполняется по ГОСТ 16530–83.