Глава 2. Плоская система сходящихся сил

2.1. Сложение плоской системы сходящихся сил. Геометрическое условие равновесия

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил. Если силы сходящейся системы приложены к разным точкам тела, то по первому следствию из аксиом статики каждую силу можно перенести в точку пересечения линий действия и по­лучить эквивалентную систему сил, приложенных к одной точке (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Плоская система сходящихся сил

Две силы, приложенные к одной точке тела, образуют простей­шую плоскую систему сходящихся сил (две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости).

Рассмотрим систему сил , приложенных в точкеА. Требуется найти их равнодействующую (рис. 2.2).

Применив правило силового треугольника, сложим силы и . Для этого из конца вектора отложим вектор и, соединив точки А и С, получим геометрическую сумму (равнодействующую) сил и :

Рис. 2.2. Многоугольник сил

Теперь сложим силу с силой . Для этого из конца вектора ВС = отложим вектор и, соединив точки А и D, получим равнодействующую трех сил:

где – искомая равнодействующая.

Порядок построения сторон силового многоугольника не влияет на окончательный результат.

Чтобы уравновесить систему сил, достаточно к ней добавить еще одну силу, численно равную равнодействующей, но направленную в противоположную сторону (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Равнодействующая системы сил

Необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме: система сходящихся сил уравновешена тогда и только тогда, когда силовой многоугольник замкнут.

2.2. Определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций. Аналитическое условие равновесия

Вместо построения силового многоугольника равнодействующую системы сходящихся сил более точно и значительно быстрее находят вычислением с помощью метода проекций, который обычно называется аналитическим.

Проекцией вектора на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущен­ными из начала и конца вектора . Проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси (рис. 2.4):

Рис. 2.4. Проекции векторов сил на оси

Рассмотрим определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций.

Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен многоугольник ABCDE, в котором вектор – искомая равнодействующая данной системы.

Рис. 2.5. Многоугольник сил

Выбрав систему координатных осей X и Y в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси:

В краткой форме эти равенства записываются так:

где – знак суммы, а индекс k последовательно принимает значения от 1 до n, по числу сходящихся сил, равнодействующая которых определяется.

Таким образом, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на каждую из осей координат равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось:

.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме: для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из двух осей координат были равны нулю.