19.7. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Прочность бруса, работающего на кручение, считают обеспе­ченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают допускаемых:

Конечно, незначительное (до 5–6 %) превышение расчетного напряжения над допускаемым не опасно.

Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны на рис. 19.14.

Рис. 19.14. Эпюры касательных напряжений поперечных сечений вала

В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения одинако­вы.

Наибольшего значения касатель­ные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения:

где – полярный момент инерции.

Введя обозначение , получим следующее выражение для максимального касательного напряжения:

Величину , мм³, равную отношению полярного момента инерции сечения к его радиусу, называют полярным моментом со­противления сечения. Его размерность – L³. Очевидно, полярный момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении:

(19.4)

Эта формула служит для проверочного расчета на прочность.

При проектном расчете и при определении допускаемой на­грузки (момента) из формулы (19.4) соответственно находят или .

Для кольца

и для круга

Для конструкционной углеродистой стали обычно = 20–35 МПа.

Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жесткость при кручении.

Рассмотрим брус, жестко защем­ленный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим мо­ментом М (рис. 19.15). При деформации бруса его поперечные сечения повер­нутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению или, что то же самое, по отношению к непо­движному сечению (заделке). Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки. Так, для произвольного сечения I, отстоящего от заделки на расстоянии z, он равен , для сечения II – . Здесь – угол поворота сечения II относительно I или угол закручивания элемента бруса длиной .

Вообще, угол поворота вала при включении произвольного сечения равен углу за­кручивания части бруса, заключенной между этим сечением и за­делкой. Таким образом, угол поворота φ торцового сечения пред­ставляет собой полный угол закручивания рассматриваемого бруса.

За меру жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) вала, обозначаемый φ₀ (встречается обозначение θ):

Рис. 19.15. Деформации вала при кручении

Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинако­вом во всех поперечных сечениях крутящем моменте равен

где l – длина рассматриваемого участка, мм.

В отличие от допускаемого напряжения, зависящего в первую очередь от материала вала, допускаемый угол закручивания зави­сит от назначения вала.

Значения допускаемых углов закручивания, встречающихся в различных отраслях машиностроения, весьма разнообразны; наибо­лее распространены значения [θ] = (4,38–17,5) · 10³ рад/м = 0,25–1,0 град/м.

Условие жесткости при кручении имеет вид

где – условная жесткость сечения круглого бруса при кручении. Модуль сдвига G характеризует жесткость материала, а полярный момент инерции является геометрической характеристикой жесткости бруса. Для стали G  = 8 · 10⁴ МПа.

При проектном расчете отсюда определяют требуемое значение I_p:

а затем вычисляют диаметр ва­ла. Из двух значений диаметра вала, определенных из расчетов на прочность и жесткость, в качестве окончательного (исполнитель­ного размера) должен быть, конечно, принят больший.

Для круга