19.8. Условие прочности вала при совместном действии крутящего и изгибающего моментов

При ориентировочном расчете валов влияние изгиба не учиты­валось, но допускаемые напряжения на кручение принимались весьма невысокими, что должно было в известной мере компенсировать ошибку, являющуюся следствием пренебрежения изгибом.

Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы, учиты­вая совместное действие изгиба и кручения.

При расчете валов, а также дру­гих элементов конструкций, испытыва­ющих одновременное действие изгиба и кручения, влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как соответствующие им касательные на­пряжения в опасных точках бруса, не­велики по сравнению с касательными напряжениями от кручения и нормаль­ными напряжениями от изгиба.

На рис. 19.16, а показан вал, на который насажены зубчатое колесо ди­аметром и шкив ременной передачи диаметром . На зубчатое колесо действуют окружная и радиальная силы, на шкив – силы и натяжения ветвей ремня. Для составления расчетной схемы вала (рис. 19.16, б) все силы должны быть приведены к его оси. При переносе силы к оси вала добавляется скручивающая пара с моментом (рис. 19.17, а); аналогично при приведении сил и получается скру­чивающая пара с моментом (рис. 19.17, б).

а

б

Рис. 19.16. Изгиб с кручением вала

б

а

Рис. 19.17. Перенос сил к оси вала

При равномерном вращении вала (толь­ко такой случай и рассматривается) , что следует из основного уравнения динамики для вращательного движения.

На основе расчетной схемы определяют опорные реакции и строят эпюры , по которым опре­деляют опасное сечение вала.

Для вала, диаметр которого по всей длине постоянен, опасным будет сечение, в котором одновременно возникают наибольшие крутя­щий и изгибающий моменты. В рассматриваемом случае опасным будет сечение C под серединой шкива.

Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой кон­струкционной или реже – легированной стали. Их расчет выполняют на основе третьей или пятой гипотез прочности.

Составим расчетную зависимость по третьей гипотезе проч­ности.

По формуле

подставляя в нее значения и , получаем

Учитывая, что для круглого (сплошного или кольцевого) се­чения , имеем

Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости для определения максимальных нормальных напряжений при изгибе, по­этому величину, стоящую в числителе, называют эквивалентным (или приведенным) моментом, при этом условие прочности имеет вид

Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кру­чением ведется аналогично расчету на изгиб, но вместо изгибающего момента в расчетную формулу входит так называемый эквивалентный момент, который зависит от изгибающих и крутящего мо­ментов, а также от принятой гипотезы прочности. По гипотезе на­ибольших касательных напряжений,

При проектном расчете определяют требуемое значение момен­та сопротивления поперечного сечения:

Учитывая, что для сплошного круглого сечения ,получаем следующую формулу для определения требуемого диаметра вала:

Понятие «эквивалентный момент» не имеет смысла при изгибе с кручением бруса некруглого поперечного сечения. Неприменимо оно и в случае, если помимо изгиба и кручения брус круглого се­чения испытывает растяжение или сжатие.

Для бруса с постоянным диаметром опасная точка находится в сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее значение. Это сечение также называют опасным. Для отыскания опасного сечения иногда помимо эпюр строят эпюру , а затем эпюру . Практически в этом нет необходимости; в случае, если по эпюрам положение опасного сече­ния определить нельзя, проще вычислить для нескольких се­чений, чем строить эпюры и .