Глава 20. Устойчивость сжатых элементов Конструкций

20.1. Понятие о критической силе для сжатого стержня.

Формула Эйлера

Из физики известно, что равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила или пара сил, возвращающая его в положение равновесия. Кроме устойчивого известны также неустойчивое и безразличное равнове­сия, но для механических конструкций допустимы лишь случаи устойчивого равновесия. Если по каким-либо причинам упругое те­ло или конструкция при отклонении от равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла потеря устойчивости.

Явление потери устойчивости упругого тела рас­смотрим на примере сжатого стержня. Представим, что на прямолинейный стальной стержень, зажатый одним концом в вертикальном положении (рис. 20.1, а) сверху надет шар. При небольшом значении силы тя­жести G₁, сжимающей стержень, он сохраняет прямолинейную форму и находится в устойчивом равновесии.

Действительно, если отклонить шар вместе с верхней частью стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равно­весия, снова примет прямолинейную форму. Постепенно увеличивая сжимающую нагрузку путем установки более тяжелых шаров (рис. 20.1, б), увидим, что стержень хотя и сохраняет прямолинейную форму, но при отклонении от положения равновесия возвращается в исходное положение гораздо медленнее. Наконец, при некоторой нагрузке G₃ (рис. 20.1, в) стержень изогнется, и прямолинейная форма устойчивого равновесия переходит в но­вую, криволинейную форму устойчивого равновесия.

а

б

в

Рис. 20.1. Потеря устойчивости

Если теперь стержень принудительно выпрямить или, наоборот, изогнуть еще больше, он после нескольких колебаний займет исходное равновесное положение в изогнутом состоянии.

Максимальная сжимающая нагрузка , при которой прямоли­нейная форма стержня устойчива, называется критической силой.

Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в том, чтобы он при некотором значении F осевой нагрузки со­хранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом не­которым запасом устойчивости (рис. 20.2):

Рис. 20.2. К определению запаса устойчивости

Условие устойчивости сжатого стержня

где – коэффициент запаса устойчивости.

Допускаемая сжимающая сила

Задачу определения критической силы впервые чисто матема­тически решил Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

(20.1)

где  – минимальное значение момента инерции площадки попе­речного сечения стержня, так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости;

– длина стержня;

– коэффициент приведения длины, т. е. число, показывающее, во сколько раз следует увеличить дли­ну шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна крити­ческой силе стержня в данных условиях закрепления.

Экспериментальные исследования, связанные с проверкой формулы Эйлера, показывают, что при прочих равных условиях (одинаковые материал, форма и раз­меры поперечного сечения, а также длина стержня) значение критической силы зависит от способа за­крепления его концов.

а

б

в

г

д

е

Рис. 20.3. Значения коэффициента приведения длины стержня

при различных способах закрепления его концов

На рис. 20.3 изображены несколько случаев закрепления стержня и указаны соответствующие значе­ния коэффициента приведения μ:

– оба конца шарнирно закреплены (рис. 20.3, а);

– один конец жестко закреплен, другой – свободен (рис. 20.3, б);

– один конец закреплен шарнирно, второй имеет «плавающую» заделку (рис. 20.3, в);

– один конец заделан жестко, второй имеет «плавающую» заделку (рис. 20.3, г);

– оба конца заделаны жестко (рис. 20.3, д);

– один конец заделан жестко, другой за­креплен шарнирно (рис. 20.3, е).