5.2. Момент силы относительно оси

Обозначив моменты силы относительно осей , и, можем записать:

где , и – модули проекций сил на плоскости, перпендикулярные той оси, относительно которой определяется момент;

l – плечи, равные длинам перпендикуляров от точки пересечения оси с плоскостью до проекции или ее продолжения.

Знак «плюс» или «минус» ставится в зависимости от того, в какую сторону поворачивается плечо l вектором проекции, если смотреть на плоскость проекции со стороны положительного направления оси; при стремлении вектора проекции повернуть плечо против хода часовой стрелки момент условимся считать положительным, и наоборот.

Следовательно, моментом силы относительно оси называется алгебраическая (скалярная) величина, равная моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Момент силы относительно оси

Рис. 5.4 иллюстрирует последовательность определения момента силы относительно оси Z. Если задана сила и выбрана (или задана) ось:

а) то перпендикулярно оси выбирают плоскость (плоскость ХОY);

б) силу F проецируют на эту плоскость и определяют модуль F_xy этой проекции;

в) из точки O пересечения оси с плоскостью опускают перпендикуляр ОС к проекции F_xy и определяют плечо l = ОС;

г) глядя на плоскость ХОY со стороны положительного направления оси Z (т. е. в данном случае сверху), видим, что ОС поворачивается вектором против хода стрелки ча­сов, значит,

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости:

а) сила пересекает ось (в этом случаеl = 0) (рис. 5.5, а);

б) сила параллельна оси (), (рис. 5.5,б);

в) сила действует вдоль оси (l = 0 и ), (рис. 5.5,в).

а б в

Рис. 5.5. Случаи равенства нулю момента силы

5.3. Пространственная система произвольно расположенных сил. Условие равновесия

Ранее подробно был изложен процесс приведения сил к точке и доказано, что любая плоская система сил приводится к силе – главному вектору – и паре, момент которой называется главным моментом, причем эквивалентные данной системе сил сила и пара действуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный момент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный момент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгебраическим сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил присоединенные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесообразно представлять в виде векторов и складывать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения пространственной системы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма моментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства и выражают необходимое и достаточное условие равновесия пространственной системы произ­вольно расположенных сил.

Если главный вектор равен нулю, то его проекции на три взаим­но перпендикулярные оси также равны нулю. Если главный момент равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси:

Значит, произвольная пространственная система сил статически определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превышает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на тело действует пространственная система параллельных друг другу сил (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Пространственная система параллельных сил

Уравнения равновесия для пространственной системы параллельных сил:

В пространственной системе параллельных сил неизвестных должно быть не больше трех, иначе задача становится статически неопределимой.