19.4. Условия прочности при прямом поперечном изгибе

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными, как известно, возникают и касательные напряжения, но они в подавля­ющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются:

Расчет балок из пластичных материалов. Прочность балки из пластичного материала обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, воз­никающие в опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны (пока только такими балками и ограничимся), опасное сечение – то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опас­ного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси. Будем называть эти точки опасными. – расстояние от опасной точки до нейтральной оси. Тогда получим условие проч­ности в виде

, (19.3)

где – максимальное нормальное напряжение;

– максимальный изгибающий момент;

– момент инерции относительно оси ОХ – осевой момент инерции;

– допускаемое напряжение, принимаемое при статическом нагружении таким же, как и в случае растяжения (сжатия) бруса из того же материала.

В случае если поперечное сечение балки симметрично отно­сительно нейтральной оси, формулу (19.3) оказывается возможным привести к более удобному виду. Для указанных сечений где h – высота сечения (размер в направлении, перпен­дикулярном нейтральной оси), следовательно

Разделим числитель и знаменатель этого выражения :

Введем обозначение

и получим окончательное условие прочности в следующем виде:

где – осевой момент сопротивления, или момент сопротивления при изгибе.

Момент сопротивления – это геометрическая характеристика прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Действительно, чем больше момент сопротивления, тем меньше напряжения, возника­ющие в поперечном сечении балки при данной нагрузке.

Формула представляет собой зависимость для проверочного расчета. Значения моментов сопротивления прокатных профилей (двутавров и швеллеров) приведены в таблицах соответствующих стандартов.

Моменты сопротивления круга, кольца и прямоугольника:

а) круг

или

б) кольцо (рис. 19.9)

или

Рис. 11.9. К определению геометрических характеристик круглого сечения

в) прямоугольник

или

где h – сторона прямоугольника, перпендикулярная оси, относительно которой вычисляется момент сопротивления.

Из приведенных примеров следует, что сечение надо распола­гать таким образом, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которой момент инерции минимален, или, что то же самое, чтобы ось, относительно которой мо­мент инерции максимален, была нейтральной осью сечения. Более кратко это можно сформулировать так: следует стремиться к тому, чтобы изгиб бруса происходил в плоскости его наибольшей жесткости.