-

Двойной и тройной интеграл

Разбиение плоской фигуры

П усть Е – плоская фигура, т.е. ЕRⁿ. Вели­чина sup{(M₁,M₂)M₁E, M₂E}=(по определе­нию) называется диаметром (d(E)).

Фигура Е ограничена, т.е. может быть впи­сана в многоугольник тогда и только тогда, когда diamE. Ограниченная фигура квадрируема, т.е. имеет площадь (измерима по Жордану) тогда и только тогда, когда ее границы имеют нулевую площадь, т.е. может быть заключена в много­угольник со сколь угодно малой площадью.

Пересечение и объединение конечной со­вокупности квадрируемых фигур квадрируема. Фигура ограниченная кусочно-гдадким контуром, т.е. конечным числом дуг с непрерывными касательными, квадрируема.

Площадь фигуры Е будем обозначать Е или mesE, или Е.

Определение: Совокупность {E_i}(подмножеств)={E₁, E₂,…,E_n} из {E} называ­ется разбиением {E}, если все {E_i} составляют в совокупности фигуру Е (i=1,2,…,n).

Если никакие две разные фигуры {Е_i} не имеют общих внутренних точек:

(Е_iE_j)=0, ij

тогда:

Определение: Диаметром разбивки Е_i назы­вают величину, равную max(diamE_i). Будем обозначать d{E_i}.

1. Интегральные суммы и двойной интеграл.

Пусть на фигуре Е задана ограниченная функ­ция (ЕR²) f. Возьмем разбиение {E_i}, выберем точки x_iE_i и построим интегральную сумму:

Определение: Если интегральные суммы при d{E_i}0 имеют предел, т.е. для любого  существует такое , что для любого {E_i} и для любого x_iE_i при d{E_i} выполняется неравенство I-, (т.е. интегральные суммы имеют предел I), то функция называется интегри­руемой в смысле Римана на Е, а число I называют двойным интегралом от функции f на Е и обозна­чают:

2. Интегральные суммы и тройной интеграл.

Пусть ограниченное множество {E_i}R³. В трехмерном случае будем рассматривать области, имеющие в качестве своей границы кусочно-гладкие поверхности, т.е. области, имеющие кусочно-гладкие границы.

Определение: Поверхность называется глад­кой, если в любой его точке к ней можно про­вести касательную плоскость, непрерывно меняющуюся вместе с этой точкой. Поверхность называется кусочно-гладкой, если ее можно разрезать на конечное число гладких кусков.

Для трехмерных ограниченных плоскостей с кусочно-гладкими границами можно определить их объем (их трехмерную меру):

Е, mesE, V.

Зададим на ЕR³ ограниченную функцию f. Зададим разбиение {E_i} и выберем точку х_i из {E_i}. Тогда интегральная сумма имеет вид:

Если интегральная сумма имеет предел I при стремлении d{E_i}0, то это число называется тройным интегралом от функции f на Е и обозна­чается:

3. Правила вычисления двойного интеграла путем сведения к повторному. Пример.

Пусть на отрезке [а, b] заданы непрерывные функции у₀(х) и У(х) такие, что у₀(х)≤У(х) для любых х[а, b] и пусть на множестве {E_i} точек (х, у) таких, что a≤x≤b и у₀(х)≤у≤ У(х) определена функция f(x, y).

Е сли для любого фиксированного х[а, b] функция f(x, y) как функция у интегрируема на отрезке [у₀(х), У(х)], то это значит, что су­щест­вует

а функция

интегрируема на отрезке [а, b], то

называется повторным интегралом и обозначает­ся:

Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области. Пример.

Теорема: Если для функции f(x, y) определенной в прямоугольной области [а, b][с, d] существует

и при каждом постоянном значении х[a,b] существует функция, то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство:

(Е={(x, y)axb, cyd})

Замечание: Меняя ролями х и у можно доказать формулу:

в предположении, что для любого фиксированного у[c,d] существует интеграл .

4. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области. Пример.

Пусть Е криволинейная область существенного типа, т.е. Е – замкнутая область, ограниченная сверху и снизу двумя непрерывными кривыми у=у₀(х) и у=У(х) (х[a,b]). С боков область ограничена прямыми х=а и x=b.

Теорема: Если для функции f(x,y) определенной на Е существует и при любом фиксированном значении х[a,b] существует простой интеграл , то существует и повторный интеграл

и выполняется равенство:

Замечание 1: Если криволинейная трапеция Е ог­ра­ни­чена кривыми х=х₀(у) и х=Х(у) при у[c,d], то двойной интеграл

Замечание 2: Если граница области Е пересекается прямыми параллельными осям координат в двух точках, то тогда при выполнении соответствующих условий имеют место обе формулы (*) и (**) и верно равенство (правило замены порядка интегрирования в повторном интеграле):

Замечание 3: В случае более сложной границы область Е распадается на конечное число частей, каждая из которых простейшая (правильная) область.