Средние уровни в рядах динамики

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели динамики, которые в зависимости от вида рядов динамики рассчитываются по разным формулам, которые представлены в табл.3.16.

Таблица 3.16.

Система средних показателей ряда динамики

№	Показатели	Формула расчета
1	Средний уровень ряда (У): -для интервальных рядов (средняя арифметическая) - для моментных рядов (средняя хронологическая)	Для равноотстоящих уровней простая = ∑ Yn Для неравноотстоящих уровней взвешенная = ∑ Y t : ∑ t Для равноотстоящих уровней =(Y 1/2 +Y 2+ У3 + .. + Y n /2 ):n-1 Для неравноотстоящих уровней =[(Y1+Y2)t1+(Y2+Y3)t2+(Y3+Y4)t3+… +(Yn-1+Yn)tn-1]: 2∑ti
2	Средний абсолютный прирост (средняя скорость роста)	= (∑ΔYц)/n-1 = (Y n – Yо) : n-1
3	Среднегодовой темп роста (средняя геометрическая) р	р = n-1√ ПТрц р = n-1√ Y n / Y 0
4	Средний темп прироста пр	пр = р – 100 (единственная методика)

Если уровни ряда динамики снижаются, то средний темп роста будет меньше 100%, а средний темп прироста будет отрицательной величиной.

Пример. Для вышерассмотренного примера средняя продажа мясных консервов за пять лет составит =6580/5= 1316 млн.усл.банок. Среднегодовой абсолютный прирост продажи мясных консервов за 2002-2006 гг. равен: =760/4=190 или (1651-891) /4=190 млн.усл.банок.

Среднегодовой темп роста продажи мясных консервов за 2002-2006 гг._р =⁴√ 0,905*1,979*1,026*1,009 = ⁴√ 1,853= 1,167 или 116,7%.

Среднегодовой темп прироста: _пр = 116,7 -100 = 16,7%.

Следовательно, выпуск мясных консервов в среднем за каждый год возрастал на 190 млн.усл.банок, или на 16,7%.

3.2.3. Методы анализа рядов динамики

В случае сравнения рядов динамики различных явлений применяют приведение рядов динамики к общему основанию (общей базе сравнения). В этом случае сравнивать можно только относительные показатели.

Сравнение интенсивности изменений уровней рядов во времени возможно с помощью коэффициентов опережения (отставания), показывающих, во сколько раз быстрее растет (отстает) уровень одного ряда динамики по сравнению с другим:

К_оп=Т_р1/Т_р2 К_оп= Т_пр1/Т_пр2 (3.25)

Т_р1,Т_пр1,Т_р2, Т_пр2 – базисные темпы роста и прироста первого и второго рядов динамики соответственно.

Пример. Динамика объемов производства продукции машиностроения и металлообработки и базисные темпы изменения объемов производства приведена в табл.3.17.

Таблица 3.17.

Динамика объемов производства продукции машиностроения и металлообработки (тыс.руб.)

Страна	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Россия	168413/ 100	151572/ 0,97	128988/ 0,77	108865/ 0,65	75335/ 0,45	68027/0,40
Беларусь	14272/ 100	15000/ 1,05	13680/ 0,96	13666/ 0,958	11739/ 0,82	9110/ 0,64

Цифры условные

В числителе – динамика объемов производства, в знаменателе – базисные темпы изменения объемов производства. Видно, снижение объемов производства продукции, как в России, так и в Беларуси. Приведем абсолютные уровни рядов к одному основанию, приняв за базу сравнения уровни 2001 г. и получим сравниваемые показатели – базисные темпы изменения, которые показывают, что темпы снижения объемов производства продукции в России заметно превосходят соответствующие показатели Беларуси.

В 2006 г. К_оп.= 0,64/0,40 = 1,6. Это значит, что производство продукции в России в 2001-2006 г. сокращалось в 1,6 раза быстрее, чем в Беларуси.

Смыкание рядов динамики (приведение рядов к сопоставимому виду) - объединение двух или более рядов динамики в один ряд. Применяется когда, уровни ряда становятся несопоставимыми из-за произошедших территориальных, организационных изменений и т.п. Существует несколько способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду. Для этого находят коэффициент соотношения двух уровней (в границах изменения) и умножают на этот коэффициент уровни ряда (до изменения).

Пример. Имеются данные о валовом сборе овощей в хозяйствах района в табл.3.18.

Таблица 3.18.

Динамики валового сбора овощей в хозяйствах района, тыс.ц

В границах	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Старых	416,0	432	450	-	-	-
Новых	-	-	630	622,5	648,1	684,4
Сопоставимый ряд	582,4	604,8	630	622,5	648,1	684,4
Сопоставимый ряд, %	92,4	96	100	98,8	102,9	108,6

Приведение ряда динамики к сопоставимому виду определяют для 2003 г. коэффициент соотношения уровней двух рядов: К=630:450= 1,4. Умножая на этот коэффициент уровни 1-го ряда, получим их сопоставимость с уровнями 2-го ряда, тыс.ц: 2001г.- 416,0*1,4 = 582,4; 2002г. – 432,0*1,4 = 604,8. Получим сопоставимый ряд динамики валового сбора овощей в хозяйствах района в новых границах, тыс.ц.

Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения, принимаются за 100% , а остальные пересчитываются в %.

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития (тренда).

Методы выравнивания делятся на механические (без использования количественной модели) и аналитические (с использованием аналитической модели). К механическим относятся графический способ – подбор кривой, лучше всего описывающей основную тенденцию в изменении уровней ряда, укрупнение интервалов, метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания. Они характерны для рядов с нечетко выраженной тенденцией возрастания или убывания.

Наиболее простой укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Метод скользящих средних. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя, как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок. Пример приведен в табл.3.19.

Таблица 3.19.

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Годы	Фактический уровень урожайности	Скользящая средняя
		трехлетняя	пятилетняя
1996	15,4	-	-
1997	14,0	(15,4+14,0+17,6):3=15,7	-
1998	17,6	(14,0+17,7+15,4):3=15,7	14,7
1999	15,4	(17,6+15,4+10,9):3=14,6	15,1
2000	10,9	14,6	15,2
2001	17,5	14,5	17,1
2002	15,0	17,0	16,8
2003	18,5	15,9	17,6
2004	14,2	15,9	-
2005	14,9	-	-
Итого	∑у=153,4

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и в конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных величин.

Приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления.

Получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Количественная модель, выражающая основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени: Y = f(t). Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе, так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики. Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, является: линейная функция – прямая – Y = а_о +а₁t

где, а_о и а₁ – параметры уравнения, t - время.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими (выровненными или расчетными) и эмпирическими (фактическими) уровнями: ∑( Y _расч. – Y _факт)² → min

Параметры уравнения а₀ и а₁, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней Y плавно изменяющимися уровнями у, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные а_оn + а₁∑t = ∑

а_о∑t + а₁ ∑t² = ∑ Yt

Y_{фактич.} - (эмпирические) уровни ряда; t – время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени t = 0 принять центральный интервал (момент).

При нечетном числе уровней (например, 7) значения равны:

1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
-3	-2	-1	0	+1	+2	+3

При четном числе уровней (например 8), значения t- условного обозначения времени равны:

1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
-9	-7	-5	-3	-1	+1	+3	+5	+7	+9

Вобоих случаях ∑t = 0, а система нормальных уравнений принимает вид: ∑ Y =nа_о из первого уравнения а_о =∑Y / n

∑ Yt = а₁ ∑t² из второго уравнения а₁= ∑Yt / ∑t²

Пример: Выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых культур представлено в табл.3.20.

Таблица 3.20.

Выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых

Годы	уф	t	t²	у t	урасч.	уф -ур	(уф –ур)²
1996	15,4	-9	81	-138,6	15,15	0,25	0,0625
1997	14,0	-7	49	-98,0	15,19	-1,19	1,4161
1998	17,6	-5	25	-88,0	15,23	2,37	5,6169
1999	15,4	-3	9	-46,2	15,28	0,12	0,0144
2000	10,9	-1	1	-10,9	15,32	-4,42	19,5364
2001	17,5	+1	1	17,5	15,36	2,14	4,5796
2002	15,0	+3	9	45,0	15,40	-0,40	0,016
2003	18,5	+5	25	92,5	15,45	3,05	9,3025
2004	14,2	+7	49	99,4	15,49	-1,29	1,6641
2005	14,9	+9	81	134,1	15,53	-0,63	0,3969
Итого	∑у=153,4	∑t=0	∑t²=330	∑уt= 6,8	∑ур=153,4	∑=0	∑=42,6054

а_о=153,4 :10 =15,34; а₁ = 6,8 :330 = 0,021

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции имеет вид: Y =15,34 + 0,021t

Подставим в данное уравнение последовательно значения t – равные: -9,-7,-5,-3,-1,+1,+3,+5,+7,+9 получим выровненные уровни

Y _расч. Если расчеты выполнены правильно, ∑Y _факт = ∑Y _расч. = 153,4.

Полученное уравнение показывает, что наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1996 по 2005гг. урожайность зерновых культур в среднем возрастала на а₁= 0,021 ц/га в год.

В статистике существует ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели индексы сезонности (I_s), способы, определения которых различны.

На практике для выявления закономерности сезонных колебаний пользуются помесячными данными за ряд лет (в основном не менее 3 лет). При этом для каждого месяца рассчитывается среднемесячная величина уровня за три года, затем рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е. I_s = (_i /) *100% (3.26)

где, _i - средняя для каждого месяца за 3 года;

- общий средний месячный уровень за 3 года.

Пример. Имеются данные в табл.3.21.

Сначала определим значения средних для каждого месяца за 3 года:

Таблица 3.21.

Внутригодовая динамика числа расторгнутых браков

населением города по месяцам за 2003-2005 гг.

Месяц	Число расторгнутых браков				Индекс сезонности,% Is
	2003	2004	2005	В среднем за 3 года (i )
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	195 164 153 136 136 123 126 121 118 126 129 138	158 141 153 140 136 129 128 122 118 130 131 141	144 136 146 132 136 125 124 119 118 128 15 139	165,7 147,0 150,7 136,0 136,0 125,7 126,0 120,7 118,0 128.0 131,7 139,3	122,4 108,6 111,3 100,4 100,4 92,8 93,1 89,1 87,2 94,5 97,3 102,9
Средний уровень ряда(i)	138,7	135,6	131,8	135,4	100.0

_iянварь=(Ян.2003+Ян.2004+Ян.2005):3=(195+158+144):3= 165,7

Общий средний уровень:=1624,8:12=135,4 или 406,1 : 3 = 135,4

Индексы сезонности по месяцам:I_sянв.=(165,7:135,4)*100= 122,4 %

Для получения наглядного представления о сезонной волне необходимо полученные данные изобразить в виде линейной диаграммы.