2.2. Средние величины в экономическом анализе

Основные вопросы:

2.2.1. Понятие средних величин, их виды и формы.

2.2.2. Свойства средней арифметической.

2.2.3. Правило мажорантности средних.

2.2.4. Структурные средние (мода и медиана).

2.2.1.Понятие средних величин, их виды и формы

Средняя величина является одним из самых распространенных обобщающих показателей в статистике, используемой в социально-экономических исследованиях, только с помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественному варьирующему признаку.

Характеристики средних величин: обобщающая величина; именованная величина; абстрактная величина; как, правило, средняя величина не совпадает ни с одним из вариантов; исчисляется по однородным, однокачественным явлениям.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней. Средние, рассчитанные для каждой группы - групповыми средними.

Виды средних величин

Существуют две категории средних величин: степенные средние, к которым относятся арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и структурные средние.

Степенные средние делятся на простые и взвешенные. Простая применяется тогда, когда у каждой варианты частота равна единице. Взвешенная величина применяется тогда, когда каждый вариант встречается в совокупности одинаковое число раз. Степенные средние величины представлены в табл.2.3

Таблица 2.3.

Степенные средние

№	Вид степенной средней	Показа- тель степени (m)	Формула расчета
			Простая (для несгруппированных данных	Взвешенная (для сгруппированных данных)
1	Арифметическая	1	= ∑X : n	= ∑Xf : ∑f
2	Квадратическая	2	= ∑Х²:n	= √∑Х² f : ∑f
3	Гармоническая	-1	.= n : ∑1/Х;	= ∑ w : ∑ w /Х
4	Геометрическая	0	=	= √ Х1f. Х2 f …Х n f

Из степенных средних величин в статистике наиболее часто применяется средняя арифметическая.

Пример: Имеются следующие данные, представленные в табл.2.4.

Таблица 2.4.

Товарооборот торговых предприятий фирмы за месяц

Торговое предприятие	1	2	3	4	5	6
Товарооборот (млн.руб.)	38	25	41	27	19	29

Определить по дискретному вариационному ряду средний месячный товарооборот по среднеарифметической простой:

Решение: = (38 + 25 + 41 +27 +19 +29) : 6 = 29,83 млн.руб.

Пример. Имеются следующие данные, приведенные в табл.2.5. Определить по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи одной акции по среднеарифметической взвешенной.

Таблица 2.5.

Сделки по акциям эмитента за торговую сессию

Сделка	Количество проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.
1	700	420
2	200	440
3	950	410

Решение:=(420*700+440*200+410*950):(700+200+950)

= 771500:1850 = 417,03 руб.

Пример. Имеются следующие данные, представленные в табл.2.6.

Таблица 2.6.

Распределение сотрудников предприятия по возрасту

Возраст (лет)	До 25	25-30	30-40	40-50	50-60	60 и более
Число сотрудников, чел.	8	32	68	49	21	3

Определить средний возраст персонала по интервальному вариационному ряду.

Решение: Сначала необходимо найти середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). Итак, середины интервалов будут следующими: 22,5; 27,5; 35; 45; 55; 65.

=(22,5*8+27,5*32+35*68+45*49+55*21+65*3):(8+32+68+49+21+3)= 6995 : 181 = 38,6 г.

Реже применяется средняя гармоническая величина, которая используется при отсутствии действительных носителей признака. Простая является обратной средней арифметической простой, а взвешенная исчисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются произведение этих единиц на значение признака w = Хf.

Пример. Имеются следующие данные, приведенные в табл.2.7.

Таблица 2.7.

Заработная плата рабочих в цехах предприятия

Цех	Средняя заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, тыс.руб.
1 2	3820 2960	191 592

Вычислить среднюю заработную плату рабочих по предприятию в целом. Решение: ФЗП по цехам (w) есть произведение средних заработков на число рабочих (Хf), т.е. в данном случае является единственным соизмерителем – весом при расчете средней. Поэтому используют среднюю гармоническую взвешенную.

=∑w:∑w/Х=(191000+592000):(191000/3820+592000/2960)=783000:250 = 3132 руб.

Средняя геометрическая величина применяется, когда необходимо вычислить средние темпы роста в динамических рядах.

Средняя квадратическая наиболее широко используется при расчете показателей вариации.