2.2.2. Свойства средней арифметической велилины

Средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств, некоторые их них имеют большое практическое значение для статистики.

Свойство 1. (нулевое). Сумма отклонений значений признака (вариантов) от средней арифметической равна 0. Для первичного ряда: ∑(X–)=0, для ряда со сгруппированными данными: (X – )f = 0.

Свойство 2. (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное: ∑(X – )²= min, ∑(X–)²<∑(X–А)² , где А =±ε

Для сгруппированных данных ∑(X – )²f = min или

∑(X – )²f<∑(X –А)²f

Минимальное и нулевое свойства средней арифметической используются для проверки правильности расчета средней, при изучении закономерностей изменения уровня ряда динамики, для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

Свойство 3. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: = А при А =const

Из этого свойства вытекают последующие три свойства, которые относятся к вычислительным свойствам и облегчают ее расчет.

Свойство 4 . Если от каждого варианта отнять или к каждому варианту прибавить какое-либо произвольное число (А), то новая средняя уменьшится или увеличится на это же число:Х± А = ± А.

Свойство 5. Если каждый вариант разделить или умножить на какое-либо произвольное постоянное число (А), то новая средняя уменьшится или увеличится во столько раз:

Х: А : = А: , …………………..А*Х = А*.

Свойство 6. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо произвольное число (А), то средняя величина не изменится:

= ∑Xf : ∑f = ∑X(f/А) : ∑f/А = 1/А∑X f : 1/А ∑f = ∑Xf : ∑f

= ∑Xf : ∑f = ∑X(f*А) : ∑f*А =А∑X f : А ∑f = ∑Xf : ∑f

2.2.3. Правило мажорантности средних

Чем больше показатель степени средней в формуле степенной средней, тем больше величина средней. Это правило называется правилом мажорантности средних.

>.>>

х	х²	1/х
3	9	1/3
6	36	1/6

Пример:

= 2 : (1/3 +1/6) =12:3= 4; .= ( 3+6):2 = 4,5,

. = √3*6 = 4,26 . = √(9 +36) :2 = 4,75;

4,75 > 4,5 > 4,26 > 4

2.2.4. Структурные средние (мода и медиана)

К структурным характеристикам распределения варьирующего признака относят квантили распределения и моду.

Виды квантилей:

медиана (Ме) – это вариант, делящий совокупность пополам, т.е. серединная варианта, (верх и вниз находится одинаковое количество единиц совокупности).

квартили – значения, делящие совокупность на 4 равные части;

квинтили – значения, делящие совокупность на 5 равных частей;

децили- значения, делящие совокупность на 10 равных частей.

мода – это вариант, который чаще всего встречается в совокупности.

В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Мода и медиана в дискретном ряду

Пример. Имеются следующие данные, приведенные в табл.2.8.

Таблица 2.8.

Распределение семей по числу детей

Группа семей по числу детей	Число семей	Накопленные частоты
0	10	10
1	30	40
2 Мода	75	115
3	45	160
4	20	180
5	15	195
6	6	201
Итого:	201	-

Мода - это семья, имеющая двоих детей, т.к. этому значению варианты соответствует наибольшее число семей.

Для определения медианы необходимо вначале определить номер медианы: по формуле: N=( f+1) : 2. (2.11)

Так, в распределении 201 семьи по числу детей медианой будет: (201+1)/2 = 101, т.е. 101-я варианта, которая делит ряд пополам. Чтобы вычислить значение 101 варианты, нужно накапливать частоты, начиная с наименьшей варианты. 101 варианта соответствует третьему значению варьирующего признака, и медианой будет семья, имеющая двоих детей. В этом примере медиана и мода совпали.

Если распределения, где все варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет или все варианты одинаково модальны. Если две варианты могут иметь наибольшие частоты, тогда будут две моды, распределение будет бимодальным.